江西省宜春市铜鼓县重点中学2022-2023学年高三上学期数学第三次阶段性测试试卷

试卷更新日期：2023-12-11 类型：月考试卷

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一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1. 已知复数z满足 $z (3 + 4 i) = | 2 \sqrt{6} - i |$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ B、 $\frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$ C、 $\frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ D、 $\frac{4}{5} - \frac{3}{5} i$

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2. 若 ${b} = {x | a x^{2} - 4 x + 1 = 0} (a ， b \in R)$ ，则 $a + b$ 等于（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $\frac{9}{2}$ 或 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、 $\frac{8}{5}$ 或 $\frac{1}{4}$

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3. 已知 $α ， β$ 是两个不同的平面， $a ， b$ 是两条不同的直线，则（）

A、若 $a \subset α ， b \subset β$ 且 $a$ $/ /$ $b$ ，则 $α$ $/ /$ $β$ B、若 $a \subset α ， b \subset α$ 且 $a$ $/ /$ $β ， b$ $/ /$ $β$ ，则 $α$ $/ /$ $β$ C、若 $α ⊥ β$ 且 $α ∩ β = a ， a ⊥ b$ ，则 $b ⊥ α$ D、若 $a \subset α ， b \subset β ， a$ $/ /$ $β ， b$ $/ /$ $α$ 且 $a ， b$ 异面，则 $α$ $/ /$ $β$

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4. 设数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，则“ $a_{1} > 0$ 且 $0 < q < 1$ ”是“ ${a_{n}}$ 是递减数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主､自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是（）参考数据： $l g 1.09 \approx 0.0374 ， l g 2 \approx 0.3010 ， l g 3 \approx 0.4771$ .

A、2024年 B、2025年 C、2026年 D、2027年

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6. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{2}$ 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点 $P$ ，若 $| P F_{1} | = 3 | P F_{2} |$ ，则双曲线的离心率为（）

A、3 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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7. 已知 $α \in (0 ， \frac{π}{4}) ， a = (s i n α)^{s i n α}$ ， b＝（cosα）^sinα ， c＝（sinα）^cosα ，则（）

A、a＜b＜c B、a＜c＜b C、b＜a＜c D、c＜a＜b

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8. 已知 $f (x) = | x e^{x} |$ ，关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) + t f (x) + 2 = 0$ ( $t \in R$ )有四个不同的实数根，则 $t$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - \frac{2 e^{2} + 1}{e})$ B、 $(\frac{2 e^{2} + 1}{e} ， + \infty)$ C、 $(- \frac{2 e^{2} + 1}{e} ， - 2)$ D、 $(2 ， \frac{2 e^{2} + 1}{e})$

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二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。部分选对得2分，有错误选项得0分，全部选对得5分）

9. 如图，点A ， B ， C ， M ， N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN∥平面ABC的有（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知直线 $l$ ： $k x - y - k = 0$ ，圆 $M$ ： $x^{2} + y^{2} + D x + E y + 1 = 0$ 的圆心坐标为 $(2 ， 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $l$ 恒过点 $(1 ， 0)$ B、 $D = - 4$ ， $E = - 2$ C、直线 $l$ 被圆 $M$ 截得的最短弦长为 $2 \sqrt{3}$ D、若点 $P (x ， y)$ 是圆 $M$ 上一动点， $x - y$ 的最小值为 $- 2 \sqrt{2}$

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11. 已知 $Δ A B C$ 三个内角A ， B ， C的对应边分别为a ， b ， c ，且 $∠ C = \frac{π}{3}$ ， $c = 2$ ．（）

A、 $Δ A B C$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$ B、 $\vec{A C} \cdot \vec{A B}$ 的最大值为 $2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{c o s B}{c o s A}$ 的取值范围为 $(- 2 ， + \infty)$ D、 $b c o s A + a c o s B = \sqrt{2}$

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} + {(- 1)}^{n - 1} \cdot a_{n - 1} = 3 n - 4$ （ $n \geq 2$ 且 $n \in N^{*}$ ），则下列说法正确的是（）

A、 $a_{2} + a_{4} = 5$ ，且 $a_{3} - a_{1} = 2$ B、若数列 ${a_{n}}$ 的前16项和为540，则 $a_{1} = 6$ C、数列 ${a_{n}}$ 的前 $4 k (k \in N^{*})$ 项中的所有偶数项之和为 $6 k^{2} - k$ D、当n是奇数时， $a_{n + 2} = \frac{(n + 1) (3 n + 1)}{4} + a_{1}$

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知定义在 $[2 m - 1 ， m + 4]$ 上的奇函数 $f (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) = 3^{x} - 1$ ，则 $f (m)$ 的值为．

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14. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是非零向量， $| \vec{a} | = 1$ ， $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ， $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\vec{b}}{| \vec{b} |}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ ．

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15. 已知 $ω > 0$ ，函数 $f (x) = s i n ω x c o s ω x + c o s^{2} ω x$ 在 $(\frac{π}{2} ， π)$ 单调递减，则 $ω$ 的取值范围为．

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16. 设抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，过抛物线上一点A作 $l$ 的垂线，垂足为 $B$ ，设 $C (0 ， \frac{9}{2} p)$ ，若 $A F$ 与 $B C$ 相交于点 $E ， | C F | = 2 | A F | ， △ A C E$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，则抛物线的方程为.

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四、解答题（本大题共6题，共70分）

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $2 a c o s B - b c o s C = c c o s B$ .

(1)、求 $∠ B$ 的大小；

(2)、若 $a = 2 ， c = 3$ ，直线 $P Q$ 分别交 $A B ， B C$ 于 $P ， Q$ 两点，且 $P Q$ 把 $Δ A B C$ 的面积分成相等的两部分，求 $| P Q |$ 的最小值.

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18. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + φ)$ 和 $g (x) = c o s (2 x + φ) + 1 (0 < φ < π)$ 在 $x = \frac{π}{6}$ 处有相同的导数.

(1)、求 $φ$ ；

(2)、设 $x_{1}$ 是 $f (x)$ 的极大值点， $x_{2}$ 是 $g (x)$ 的极小值点，求 $f (x_{1} - x_{2})$ 的值.

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19. 设各项均不为零的数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ，且 $2 \sqrt{S_{n}} = \sqrt{a_{n} \cdot a_{n + 1}} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = a_{n} \cdot {(\frac{9}{10})}^{n}$ ，当 $b_{n}$ 最大时，求n的值．

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20. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点D，E分别为棱 $A_{1} B_{1} 、 C C_{1}$ 的中点， $A E ⊥ A_{1} B_{1} ， A B = A C = A A_{1} = 4$ ．

(1)、设过A，D，E三点的平面交 $B_{1} C_{1}$ 于F ，求 $\frac{B_{1} F}{F C_{1}}$ 的值；

(2)、设H在线段 $B C$ 上，当 $D H$ 的长度最小时，求点H到平面 $A D E$ 的距离．

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21. 已知函数 $f (x) = (k x + 1) l n x - k x$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增，求实数 $k$ 的取值范围；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的零点个数.

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22. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A (- 2 ， 0)$ ，焦距为 $2 \sqrt{3}$ .动圆 $D$ 的圆心坐标是 $(0 ， 2)$ ，过点 $A$ 作圆 $D$ 的两条切线分别交椭圆于 $M$ 和 $N$ 两点，记直线 $A M$ 、 $A N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ .

(1)、求证： $k_{1} k_{2} = 1$ ；

(2)、若 $O$ 为坐标原点，作 $O P ⊥ M N$ ，垂足为 $P$ .是否存在定点 $Q$ ，使得 $| P Q |$ 为定值？

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