广东省佛山市S7高质量发展联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2023-12-11 类型：期中考试

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一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知集合 $U = \{0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4\}$ ， $A = \{0 ， 1 ， 3\}$ ， $B = \{2 ， 3\}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $\{0 ， 1\}$ B、 $\{0 ， 1 ， 3 ， 4\}$ C、 $\{1 ， 3\}$ D、 $\{0 ， 1 ， 3\}$

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2. “ $a > 2$ ”的一个必要不充分条件是
（）

A、 $[2 ， + \infty ）$ B、 $（ 2 ， + \infty ）$ C、 $[3 ， + \infty ）$ D、 $（ 3 ， + \infty ）$

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3. 命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 3 < 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 3 \geq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 3 > 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 3 \geq 0$ D、 $\forall x \notin R$ ， $x^{2} + 2 x + 3 > 0$

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4. 已知函数 $f (x)$ 的对应关系如下表，函数 $y = g (x)$ 的图象为如图所示的曲线 $A B C$ ，其中 $A (1 ， 3)$ ， $B (2 ， 1)$ ， $C (3 ， 2)$ ，则 $f (g (2)) =$ （）

$x$

$1$

$2$

$3$

$f (x)$

$2$

$3$

$0$

A、 $3$ B、 $2$ C、 $1$ D、 $0$

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5. 某市有块三角形荒地，如图 $▵ A B C$ 所示， $∠ A = 9 0^{\circ} ， A B = A C = 200 （$ 单位：米 $）$ ，现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地 $A D E F$ ，其中 $D ， E ， F$ 点分别在线段 $A B ， B C ， C A$ 上，若要求绿地的面积不少于 $7500$ 平方米，则 $A D$ 的长度 $（$ 单位：米 $）$ 范围是
（）

A、 $[40 ， 160]$ B、 $[50 ， 150]$ C、 $[55 ， 145]$ D、 $[60 ， 140]$

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6. 若正数 $x ， y$ 满足 $x y - 2 x - y = 0$ ，则 $x + \frac{y}{2}$ 的最小值是（）

A、 $2$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $4$ D、 $4 \sqrt{2}$

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7. 设 $a = {(\frac{4}{5})}^{\frac{1}{2}}$ ， $b = {(\frac{5}{4})}^{\frac{1}{5}}$ ， $c = {(\frac{3}{4})}^{\frac{3}{4}}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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8. 函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (1) = 1$ ，对任意的 $x_{1} < x_{2}$ ，有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > - 1$ ，则不等式 $f (|x - 1|) < 2 - |x - 1|$ 的解集为（）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(0 ， 2)$

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二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 若 $a ， b ， c \in R$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $a b \neq 0$ 且 $a < b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、若 $0 < a < 1$ ，则 $a^{3} < a$ C、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{b + 1}{a + 1} > \frac{b}{a}$ D、若 $c < b < a$ 且 $a c < 0$ ，则 $c b^{2} < a b^{2}$

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10. 关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 $(- 1 ， 2)$ ，则下列正确的是（）

A、 $a < 0$ B、关于 $x$ 的不等式 $b x + c > 0$ 的解集为 $(- \infty ， - 2)$ C、 $4 a - 2 b + c > 0$ D、关于 $x$ 的不等式 $c x^{2} - b x + a > 0$ 的解集为 $（ - 1 ， \frac{1}{2} ）$

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11. 下列结论正确的是（）

A、当 $x \geq 0$ 时， $x + 1 + \frac{1}{x + 1} \geq 2$ B、当 $x > 0$ 时， $\frac{x + 1}{\sqrt{x}} \geq 2$ C、 $x + \frac{1}{x}$ 的最小值为2 D、 $\sqrt{x^{2} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ 的最小值为2

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12. 定义在 $（ - 1 ， 1 ）$ 上的函数 $f （ x ）$ 满足 $f （ x ） - f （ y ） = f （ \frac{x - y}{1 - x y} ）$ ，且当 $x \in （ - 1 ， 0 ）$ 时， $f （ x ） < 0$ ，则有（）

A、 $f （ x ）$ 为奇函数 B、存在非零实数 $a$ ， $b$ ，使得 $f （ a ） + f （ b ） = f （ \frac{1}{2} ）$ C、 $f （ x ）$ 为增函数 D、 $f （ \frac{1}{2} ） + f （ \frac{1}{3} ） > f （ \frac{5}{6} ）$

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三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 3}$ 的定义域为．

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14. 不等式 $\frac{3}{x} < 1$ 的解集为．

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15. 若函数 $f （ 2 x - 1 ） = x^{2} + x$ ，则 $f （ x ）$ 的最小值为．

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16. 定义：对于函数 $f （ x ）$ ，若定义域内存在实数 $x_{0}$ 满足： $f (- x_{0}) = - f (x_{0})$ ，则称 $f （ x ）$ 为“局部奇函数” $.$ 若 $f （ x ） = \frac{1}{x - 3} + m$ 是定义在区间 $（ - 1 ， 1 ）$ 上的“局部奇函数”，则实数 $m$ 的取值范围是．

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四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 5}$ ， $B = {x | m + 1 \leq x \leq 2 m - 1}$ ．

(1)、当 $m = 3$ 时，求 $（ ∁_{R} A ） \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + 3 m - 9) x^{m - 1}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数， $m \in R$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 ${(2 - a)}^{\frac{1}{m - 1}} > {(2 a - 1)}^{\frac{1}{m - 1}}$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $y = m x^{2} - m x - 1$

(1)、若 $m = \frac{1}{2}$ ，求不等式 $y < 0$ 的解集；

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $y < (1 - m) x - 1$ 的解集．

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20. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量 $W$ （单位：千克）与施用肥料 $x$ （单位：千克）满足如下关系： $W (x) = {\begin{cases} 5 (x^{2} + 3) ， 0 \leq x \leq 2 \\ \frac{50 x}{1 + x} ， 2 < x \leq 5 \end{cases}$ ，肥料成本投入为 $10 x$ 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费） $20 x$ 元.已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为 $f (x)$ （单位：元）.

(1)、写单株利润 $f (x)$ （元）关于施用肥料 $x$ （千克）的关系式；

(2)、当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？

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21. 函数 $f (x)$ 是定义在实数集 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \frac{- 3 x}{x + 2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若对任意的 $t \in R$ ，不等式 $f (k - t^{2}) + f (2 t - 2 t^{2} - 3) > 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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22. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = x^{2} + 3 |x - a|$ ．

(1)、当 $a = 1$ ，请直接写出函数的单调递增区间和最小值 $（$ 不需要证明 $）$ ；

(2)、记 $f （ x ）$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上的最小值为 $g （ a ）$ ，求 $g （ a ）$ 的表达式；

(3)、对 $（ 2 ）$ 中的 $g （ a ）$ ，当 $x \in [- 1 ， 1]$ ，恒有 $f （ x ） \leq g （ a ） + m$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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$x$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$2$	$3$	$0$