广东省广州市增城荔城等五校2023-2024学年高一上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-12-11 类型：期中考试

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一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 设集合A= {x|-2<x<4}. B = {2,3,4,5},则A∩B=（）

A、{2} B、{2,3} C、{3,4,} D、{2,3,4}

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2. 如果 $a < b < 0$ ，那么下列各式一定成立的是（）．

A、 $| a | < | b |$ B、 $a^{2} < b^{2}$ C、 $a^{3} < b^{3}$ D、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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3. 不等式 $x^{2} - 2 x - 8 \leq 0$ 的解集为（）

A、 ${x | - 4 \leq x \leq 2}$ B、 ${x | - 2 \leq x \leq 4}$ C、 ${x | x \geq 4$ 或 $x \leq - 2}$ D、 ${x | x \geq 2$ 或 $x \leq - 4}$

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4. 已知函数 $f （ x ） = \{\begin{array}{l} \sqrt{x} ， x \geq 2 ， \\ 3 - x ， x < 2 ， \end{array}$ 则 $f （ f （ - 1 ））$ 等于（）

A、 $4$ B、 $- 2$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2$

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5. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x y = 9$ ，则 $x + 3 y$ 的最小值为（）

A、 $8$ B、 $6$ C、 $8 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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6. 设 $a = 9^{0.4}$ ， $b = {(\frac{1}{3})}^{- 0.9}$ ， $c = 0 . 8^{0.9}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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7. 我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休 $.$ 在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征 $.$ 函数 $f （ x ） = \frac{x^{2} - 1}{| x |}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知 $y = f （ x ）$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f （ x ） = x - 2$ ，那么不等式 $f （ x ） < \frac{1}{2}$ 的解集是（）

A、 ${x | 0 < x < \frac{5}{2}}$ B、 ${x | - \frac{3}{2} < x \leq 0}$ C、 ${x | - \frac{3}{2} < x < 0 或 0 \leq x < \frac{5}{2}}$ D、 ${x | x < - \frac{3}{2} 或 0 \leq x < \frac{5}{2}}$

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二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 下列各组函数是同一个函数的是（）

A、 $f （ x ） = x^{2} - 2 x - 1$ 与 $g （ t ） = t^{2} - 2 t - 1$ B、 $f （ x ） = x^{0}$ 与 $g （ x ） = 1$ C、 $f （ x ） = \frac{1}{x}$ 与 $g （ x ） = \frac{x}{x^{2}}$ D、 $f （ x ） = 2 x - 1 （ x \in Z ）$ 与 $g （ x ） = 2 x + 1 （ x \in Z ）$

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10. 下列函数中，值域为 $[0 ， 4]$ 的是（）

A、 $f (x) = x - 1$ ， $x \in [1 ， 5]$ B、 $f (x) = - x^{2} + 4$ C、 $f (x) = - \frac{1}{x + 1} - 2$ ， $x \in [- \frac{3}{2} ， - \frac{7}{6}]$ D、 $f (x) = x + \frac{1}{x} - 2 （ x > 0 ）$

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11. 下列说法正确的有（）

A、不等式 $\frac{2 x - 1}{3 x + 1} > 1$ 的解集是 $（ - 2 ， - \frac{1}{3} ）$ B、“ $a > 1$ ， $b > 1$ ”是“ $a b > 1$ ”成立的充分条件 C、命题 $p ： \forall x \in R$ ， $x^{2} > 0$ ，则 $\neg p ： \exists x \in R$ ， $x^{2} < 0$ D、“ $a < 5$ ”是“ $a < 3$ ”的必要条件

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12. 下列命题正确的是（）

A、“关于 $x$ 的不等式 $m x^{2} + x + m > 0$ 在 $R$ 上恒成立”的一个必要不充分条件是 $m > \frac{1}{4}$ B、已知函数 $f （ x ） = \{\begin{array}{l} x^{2} ， x \leq 0 \\ 2 x - 1 ， x > 0 \end{array}$ ，若 $f （ x ） \geq 1$ ，则 $x$ 的取值范围是 $[1 ， + \infty)$ C、“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的充分不必要条件 D、命题“ $\forall x \in [0 ， 1] ， x + a \leq 0$ ”是真命题的实数 $a$ 的取值范围为 ${a | a \leq - 1}$

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三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 命题“ $\forall x \in R ， x^{2} - x + 3 > 0$ ”的否定是．

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14. 函数 $f （ x ） = \sqrt{x + 1} + \frac{2}{x - 1}$ 的定义域是．

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15. 已知函数 $f （ x ） = 4 x^{2} - k x - 8$ 在 $[5 ， 10]$ 上单调递增，则实数 $k$ 的取值范围是

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16. 已知 $f （ x ） = \{\begin{array}{l} - 7 x + 2 a ， x \geq 1 \\ x^{2} - a x + 1 ， x < 1 \end{array}$ 是 $R$ 上的减函数，则实数 $a$ 的取值范围为．

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四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 7}$ ， $B = {x | a \leq x \leq 3 a - 2}$ ．

(1)、若 $a = 4$ ，求 $A \cup B$ 、 $（ ∁_{R} A ） \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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18.

(1)、计算： $2 \sqrt{3} \times 3 \sqrt[3]{1.5} \times \sqrt[6]{12}$ ；

(2)、已知 $x^{\frac{1}{2}} - x^{- \frac{1}{2}} = \frac{3}{2}$ ，求 $\frac{x - 1}{x + 1}$ 的值．

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19. 已知函数 $f （ x ） = x^{2} - （ a + b ） x + a$ ．

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f （ x ） < 0$ 的解集为 ${x | 1 < x < 2}$ ，求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、当 $b = 1$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f （ x ） > 0$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

(1)、判断函数 $f （ x ）$ 的奇偶性，并使用定义法说明理由

(2)、判断函数 $f （ x ）$ 在 $(- 1 ， 1)$ 上的单调性，并使用定义法说明理由

(3)、求函数 $f （ x ）$ 的值域

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21. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作 $.$ 该地区有 $200$ 户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为 $3$ 万元 $.$ 为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员 $x （ x > 0 ）$ 户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高 $4 x ％$ ，而从事水果加工的农民平均每户收入将为 $3 （ a - \frac{3 x}{50} ）（ a > 0 ）$ 万元．

(1)、若动员 $x$ 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求 $x$ 的取值范围；

(2)、在 $（ 1 ）$ 的条件下，要使这 $200$ 户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求 $a$ 的最大值．

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22. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 和偶函数 $g (x)$ 满足 $f (x) + g (x) = 2^{x}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的解析式，并判断函数 $f (x)$ 的单调性 $（$ 不用解析 $）$ ；

(2)、求函数 $F (x) = g (2 x) - a f (x) - 1$ ， $x \in [0 ， 1]$ 的最小值．

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