广东省广州市三校（南实、铁一、广外）2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2023-12-11 类型：期中考试

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一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知集合 $A = \{x |y = \sqrt{1 - 2 x}\}$ ， $B = \{x |y = l n (2^{x} - 1)\}$ ，则 $A \cap B$ 等于（）

A、 $\{x |0 \leq x < \frac{1}{2}\}$ B、 $\{x |0 < x \leq \frac{1}{2}\}$ C、 $\{x |0 \leq x \leq \frac{1}{2}\}$ D、 $\{x |0 < x < \frac{1}{2}\}$

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2. 已知 $x < y$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$ B、 $2^{- x} < 2^{- y}$ C、 $l g (x^{2} + 1) < l g (y^{2} + 1)$ D、 $x^{\frac{1}{3}} < y^{\frac{1}{3}}$

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3. “方程 $\frac{x^{2}}{9 - m} + \frac{y^{2}}{m - 5} = 1$ 表示椭圆”的一个必要不充分条件是（）

A、 $m = 7$ B、 $7 < m < 9$ C、 $5 < m < 9$ D、 $5 < m < 9$ 且 $m \neq 7$

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4. 已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 a y + a^{2} + 3 = 0$ 和圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 a y + 4 a^{2} - 1 = 0$ ，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的公切线的条数为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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5. 果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为 $h = m \cdot a^{t}$ ．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知 $\lg 2 \approx 0.3$ ，结果取整数）（）

A、23天 B、33天 C、43天 D、50天

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6. 已知 $s i n α + c o s (\frac{π}{6} - α) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $c o s (2 α + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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7. 已知向量 $\vec{a} = (2，0)$ ， $\vec{b} = (s i n α ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，若 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量 $\vec{c} = (\frac{1}{2} ， 0)$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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8. 如图，水平放置的正四棱台玻璃容器的高为 $32 c m$ ，两底面对角线 $E G$ 、 $E_{1} G_{1}$ 的长分别为 $14 c m$ 、 $62 c m$ ，水深为 $12 c m .$ 则玻璃容器里面水的体积是（）

A、 $3336 c m^{3}$ B、 $3337 c m^{3}$ C、 $3338 c m^{3}$ D、 $3339 c m^{3}$

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二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知复数 $z = \frac{10 i}{3 - i}$ ，则（）

A、 $Z$ 的虚部为 $3$ B、 $|Z^{2}| = 10$ C、将 $Z$ 对应的向量 $\vec{O Z} (O$ 为坐标原点 $)$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $\frac{π}{2}$ ，得到的向量对应的复数为 $- 3 - i$ D、 $Z$ 的共轭复数 $1 + 3 i$

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10. 函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 最小正周期为 $T = π$ B、 $φ = \frac{π}{6}$ C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{5 π}{12} ， - \frac{π}{6}]$ 上单调递减 D、方程 $f (x) = \frac{1}{2}$ 在区间 $[0，2 π]$ 内有 $3$ 个根

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11. 2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点 $F (0 ， 2)$ ，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（）

A、椭圆的长轴长为 $4 \sqrt{2}$ B、线段AB长度的取值范围是 $[4 ， 2 + 2 \sqrt{2}]$ C、 $△ A B F$ 面积的最小值是4 D、 $△ A F G$ 的周长为 $4 + 4 \sqrt{2}$

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12. 如图，在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别是 $A B$ ， $A D$ 的中点， $P$ 为线段 $C_{1} D_{1}$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A、存在点 $P$ ，使得 $P M$ 与 $B C_{1}$ 异面 B、不存在点 $P$ ，使得 $M N ⊥ N P$ C、当 $P$ 在直线 $C_{1} D_{1}$ 上运动时，三棱锥 $A_{1} - B_{1} P C$ 的体积不变 D、过 $M$ ， $N$ ， $P$ 三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

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三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 若 $a$ ， $b$ 为正实数，直线 $x + (2 a - 1) y + 1 = 0$ 与直线 $b x + 2 y - 1 = 0$ 互相垂直，则 $a b$ 的最大值为．

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14. 如图，电路中 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三个电子元件正常工作的概率分别为 $P (A) = 0.8$ ， $P (B) = P (C) = 0.6$ ，则该电路正常工作的概率．

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15. 设点 $P (x ， y)$ 是圆： ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4$ 上的动点，定点 $A (0，2)$ ， $B (0 ， - 2)$ ，则 $|\vec{P A} + \vec{P B}|$ 的取值范围为．

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16. 如图是数学家 $G e r m i n a l D a n d e l i n$ 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型 $.$ 在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球 $O_{1}$ ，球 $O_{2}$ 的半径分别为 $4$ 和 $2$ ，球心距离 $|O_{1} O_{2}| = 2 \sqrt{10}$ ，截面分别与球 $O_{1}$ ，球 $O_{2}$ 相切于点 $E ， F (E ， F$ 是截口椭圆的焦点 $)$ ，则此椭圆的离心率等于．

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四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 圆 $M$ 经过点 $A (1，2)$ ， $B (9 ， - 2)$ ，且圆心 $M$ 在直线 $y = x - 5$ 上．

(1)、求圆 $M$ 的方程；

(2)、过点 $A$ 作直线 $l$ ，直线 $l$ 与圆 $M$ 的另一个交点是 $D$ ，当 $| A D | = 4$ 时，求直线 $l$ 的方程．

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18. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者 $.$ 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛 $；$ 从所有答卷中随机抽取 $100$ 份作为样本，将样本的成绩 $($ 满分 $100$ 分，成绩均为不低于 $40$ 分的整数 $)$ 分成六段： $[40，50)$ ， $[50，60)$ ， $\dots$ ， $[90，100]$ 得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值 $；$

(2)、求样本成绩的第 $75$ 百分位数 $；$

(3)、已知落在 $[50，60)$ 的平均成绩是 $51$ ，方差是 $7$ ，落在 $[60，70)$ 的平均成绩为 $63$ ，方差是 $4$ ，求两组成绩的总平均数 $\bar{z}$ 和总方差 $s^{2}$ ．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P B ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $C D ⊥ P D$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D / / B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = A D = P B = 1$ ，点 $E$ 在棱 $P A$ 上，且 $P E = 2 E A$ ．

(1)、证明： $P C / /$ 平面 $E B D$ ；

(2)、求直线 $P D$ 与平面 $E B D$ 所成角的正弦值．

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20. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且有 $2 s i n (C + \frac{π}{6}) = \frac{b + c}{a}$ ．

(1)、求角 $A ；$

(2)、若 $D$ 为边 $B C$ 上一点，且 $2 C D = A D = B D$ ，求 $s i n$ C.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的中心为 $O$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $M$ 为椭圆 $C$ 上一点，线段 $M F_{1}$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 相切于该线段的中点 $N$ ，且 $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积为 $4$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、椭圆 $C$ 上是否存在三个点 $A$ ， $B$ ， $P$ ，使得直线 $A B$ 过椭圆 $C$ 的左焦点 $F_{1}$ ，且四边形 $O A P B$ 是平行四边形？若存在，求出直线 $A B$ 的方程；若不存在 $.$ 请说明理由．

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22. 中国古代数学名著 $《$ 九章算术 $》$ 中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形 $A B C D$ 为正方形，四边形 $A B F E$ ， $C D E F$ 为两个全等的等腰梯形， $A B = 4$ ， $E F / / A B$ ， $A B = 2 E F$ ， $E A = E D = F B = F C = 3$ ．

(1)、当点 $N$ 为线段 $A D$ 的中点时，求证：直线 $A D ⊥$ 平面 $E F N$ ；

(2)、当点 $N$ 在线段 $A D$ 上时 $($ 包含端点 $)$ ，求平面 $B F N$ 和平面 $A D E$ 的夹角的余弦值的取值范围．

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