浙江省宁波市余姚名校2023-2024学年高一上学期期中考试数学

试卷更新日期：2023-12-11 类型：期中考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合 $M = {- 1 ， 0 ， 2 ， 4}$ ， $N = {0 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，则 $M ∪ N =$ （）

A、 ${0 ， 2}$ B、 ${2 ， 4}$ C、 ${0 ， 2 ， 4}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 2 ， 3 ， 4}$

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2. 设 $x \in R$ ，则“ $2^{x^{2} - 5 x} < 1$ ”是“ $| x - 1 | < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知扇形的周长为 $30 c m$ ，圆心角为 $3 r a d$ ，则此扇形的面积为（）

A、 $9 c m^{2}$ B、 $27 c m^{2}$ C、 $48 c m^{2}$ D、 $54 c m^{2}$

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4. 函数 $f (x) = \frac{| x^{2} - 1 |}{x}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (2 - x)$ 的值域为 $(- \infty ， 1]$ ，则函数 $f (2 x)$ 的定义域为（）

A、 $[0 ， + ∞)$ B、 $[0 ， 2)$ C、 $[0 ， 1)$ D、 $(- \infty ， 1)$

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6. 某工厂引用某海水制盐需要对海水过滤某杂质，按市场要求，该杂质含量不能超过 $0.01 %$ ，若初时含杂质 $0.2 %$ ，每过滤一次可使杂质含量减少 $\frac{1}{3}$ ，为使产品达到市场要求，至少应过滤的次数为（）提示： $l g 2 \approx 0.3010$ ， $l g 3 \approx 0.4771$ ．

A、6 B、7 C、8 D、9

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7. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，对任意 $x_{1} ， x_{2} \in [0 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，若 $a = f (l o g_{15} 3 \cdot l o g_{15} 5)$ ， $b = f (c o s \frac{11 π}{4})$ ， $c = f (5^{0.1})$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l n (x + 1) + m ， x \geq 0 \\ a x - b + 1 ， x < 0 \end{array} (m < - 1)$ ，对于任意 $s \in R$ ，且 $s \neq 0$ ，均存在唯一实数 $t$ ，使得 $f (s) = f (t)$ ，且 $s \neq t$ ，若关于 $x$ 的方程 $| f (x) | = f (\frac{m}{2})$ 有3个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，则 $x_{1} + x_{2} - x_{3}$ 的取值范围是（）

A、 $(1 - e^{2} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 1 - e^{2})$ C、 $(\frac{1}{2} - e^{2} ， 0)$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{2} - e^{2})$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的0分．

9. 下列说法正确的是（）

A、 $\frac{π}{10}$ 化成角度是 $18 °$ B、 $- 120 °$ 化成弧度是 $- \frac{5}{6} π$ C、 $- 330 °$ 与 $750 °$ 的终边相同 D、若 $s i n θ \cdot c o s θ = \frac{1}{2}$ ，则 $t a n θ + \frac{c o s θ}{s i n θ} = 2$

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10. 用二分法求函数 $f (x) = x^{3} + x^{2} - 2 x - 2$ 的一个零点的近似值（精确度为 $0.1$ ）时，依次计算得到如下数据： $f (1) = - 2$ ， $f (1.5) = 0.625$ ， $f (1.25) \approx - 0.984$ ， $f (1.375) \approx - 0.260$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(1.25 ， 1.5)$ 上有零点 B、已经达到精确度，可以取 $1.375$ 作为近似值 C、没有达到精确度，应该接着计算 $f (1.3125)$ D、没有达到精确度，应该接着计算 $f (1.4375)$

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11. 函数 $f (x) = \frac{x}{1 + | x |} (x \in R)$ ，以下四个结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域是 $(- 1 ， 1)$ B、函数 $y = f (x)$ 的图像与函数 $g (x) = l o g_{2} \frac{x + 1}{x - 1}$ 图像的交点为 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ， $(x_{3} ， y_{3})$ ， …， $(x_{m} ， y_{m})$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdot \cdot \cdot + x_{m} = 2$ C、若规定 $f_{1} (x) = f (x)$ ， $f_{n + 1} (x) = f (f_{n} (x))$ ，则对任意的 $n \in N^{*}$ ， $f_{n} (x) = \frac{x}{1 + n | x |}$ D、对任意的 $x \in [- 1 ， 1]$ ，若函数 $f (x) \leq t^{2} - 2 a t + \frac{1}{2}$ 恒成立，则当 $a \in [- 1 ， 1]$ 时， $t \leq - 2$ 或 $t \geq 2$

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12. 已知 $x ， y > 0 ， x + 2 y + x y - 6 = 0$ ，则（）

A、 $x y$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ B、 $x + 2 y$ 的最小值为4 C、 $x + y$ 的最小值为 $4 \sqrt{2} - 3$ D、 $(x + 2)^{2} + (y + 1)^{2}$ 的最小值为16

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知角 $α$ 的终边经过点 $(m ， 2 m) (m > 0)$ ，则 $s i n α =$ ．

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14. $l g 25 + \frac{2}{3} l g 8 - 3 l o g_{2} 3 \times l o g_{3} 2 + 2^{l o g_{2} 3} =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = {(10 - 3 a)}^{(a^{2} - 6 a + 8) x}$ （ $a < \frac{10}{3}$ 且 $a \neq 3$ ）是定义在 $R$ 上的增函数，则实数 $a$ 的取值范围为．

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16. 若定义在区间 $[- 2021 ， 2021]$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对于任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [- 2021 ， 2021]$ ，都有 $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2}) - 2023$ ，且 $x > 0$ 时，有 $f (x) > 2023$ ， $f (x)$ 的最大值为 $M$ ，最小值为 $N$ ，则 $f (0) =$ ， $M + N$ 的值为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知集合 $M = {x | \frac{1}{8} < 2^{x} < 32}$ ， $N = {x | 0 < x < 8}$ ， $C = {x | a < x < 2 a - 1}$ ．

(1)、求 $M ∩ N$ ；

(2)、若 $M ∪ C = M$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 已知 $t a n a - \frac{1}{t a n a} = \frac{3}{2}$ ，且 $a$ 是第三象限角．

(1)、求 $t a n a$ 的值；

(2)、求 $2 s i n^{2} (3 π - a) - 3 c o s (\frac{π}{2} + a) s i n (\frac{3 π}{2} - a) + 2$ 的值．

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19. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 - \frac{1}{x} ， x \geq 1 \\ \frac{1}{x} - 1 ， 0 < x < 1 \end{array}$

(1)、若关于 $f (x)$ 的方程 $f (x) = a$ 有解，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若存在正实数 $a$ ， $b (a < b)$ ，使得函数 $f (x)$ 的定义域为 $[a ， b]$ 时，值域为 $[m a ， m b] (m \neq 0)$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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20. 某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据：
年份
2015
2016
2017
2018

投资成本 $x$
3
5
9
17
…
年利润 $y$
1
2
3
4
…
给出以下3个函数模型：① $y = - x + b$ ；② $y = a b^{x}$ （ $a \neq 0 ， b > 0$ ，且 $b \neq 1$ ）；③ $y = l o g_{a} (x + b)$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）.

(1)、选择一个恰当的函数模型来描述x ， y之间的关系，并求出其解析式；

(2)、试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型.

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21. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (4^{x} + 1)$ ．

(1)、解关于 $x$ 的方程 $[f (x) + 1] [f (x) - 1] = 3$ ；

(2)、设函数 $g (x) = 2^{f (x)} + \frac{1}{2^{f (x)} - 1} - 2 b (2^{x} + 2^{- x}) - 1 + b^{2} (b \in R)$ ，若 $g (x)$ 在 $1 \leq x \leq 2$ 上的最小值为2，求 $b$ 的值．

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22. 已知函数 $g (x) = l g (\sqrt{x^{2} + a} - x)$ ，若 $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、判断函数 $g (x)$ 的单调性，若 $g (b x^{2} + 2) > g (2 x + 1)$ 在 $[2 ， 3]$ 上有解，求实数 $b$ 的取值范围；

(3)、若函数 $f (x) = 1 - 2 | x - \frac{1}{2} |$ ，判断函数 $y = f [f (x)] - g (- x)$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上的零点个数，并说明理由．

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年份	2015	2016	2017	2018
投资成本 $x$	3	5	9	17	…
年利润 $y$	1	2	3	4	…