浙江省宁波市余姚名校2023-2024学年高二上学期期中考试数学

试卷更新日期：2023-12-11 类型：期中考试

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 在平面直角坐标系中，斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线倾斜角为（）

A、 $3 0^{°}$ B、 $6 0^{°}$ C、 $9 0^{°}$ D、 $12 0^{°}$

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2. 如图，空间四边形OABC中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点M在 $\vec{O A}$ 上，且 $O M = 2 M A$ ，点N为BC中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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3. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是平面 $α$ 的两个不相等的非零向量，非零向量 $\vec{c}$ 是直线 $l$ 的一个方向向量，则 $\vec{c} \cdot \vec{a} = 0$ 且 $\vec{c} \cdot \vec{b} = 0$ 是 $l ⊥ α$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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5. 美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的 $\frac{1}{3}$ ，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（）

A、1.8cm B、2.5cm C、3.2cm D、3.9cm

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6. 已知函数 $y = x f^{'} (x)$ 的图象如图所示(其中 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数)，则下面四个图象中， $y = f (x)$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 四名同学各掷骰子5次，并各自记录每次骰子出现的点数，分别统计四名同学的记录结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）

A、平均数为3，中位数为2 B、中位数为3，众数为2 C、中位数为3，方差为2.8 D、平均数为2，方差为2.4

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8. 过直线 $3 x + 4 y + 12 = 0$ 上一点 $P$ 作圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 的切线，切点为 $A$ ， $B$ ，则四边形 $P A C B$ 的面积的最小值为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $2 \sqrt{3}$

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二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知圆 $O_{1} ： (x - 1)^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $O_{2} ： x^{2} + (y - 1)^{2} = 2$ 的交点为A，B，则（）

A、两圆的圆心距 $| O_{1} O_{2} | = 2$ B、直线AB的方程为 $x - y + 1 = 0$ C、圆 $O_{2}$ 上存在两点P和Q使得 $| P Q | > | A B |$ D、圆 $O_{1}$ 上的点到直线AB的最大距离为 $2 + \sqrt{2}$

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10. 抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用 $a$ 表示黄色骰子朝上的点数， $b$ 表示白色骰子朝上的点数，用 $(a ， b)$ 表示一次试验的结果，该试验的样本空间为 $Ω$ ，事件 $A =$ “关于 $x$ 的方程 $2 x^{2} - 2 (a + b) x + 5 (a + b) = 0$ 无实根”，事件 $B =$ “ $a = 4$ ”，事件 $C =$ “ $b < 4$ ”，事件 $D =$ “ $a b > 20$ ”则（）

A、A与 $B$ 互斥 B、A与 $D$ 对立 C、 $B$ 与 $C$ 相互独立 D、 $B$ 与 $D$ 相互独立

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11. 某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（）

A、该平台女性主播占比的估计值为0.4 B、从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7 C、按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名 D、从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.6

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12. 如图，棱长为6的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 、 $N$ 满足 $\vec{A M} = λ \vec{A C_{1}}$ ， $\vec{C N} = μ \vec{C D}$ ，其中 $λ$ 、 $μ \in (0 ， 1)$ ，点 $P$ 是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（）

A、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时， $D M$ ∥平面 $C B_{1} D_{1}$ B、当 $μ = \frac{1}{2}$ 时，若 $B_{1} P$ ∥平面 $A_{1} N C_{1}$ ，则 $| B_{1} P |$ 的最大值为 $3 \sqrt{5}$ C、当 $λ = μ = \frac{1}{2}$ 时，若 $P M ⊥ D_{1} N$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为 $12 + 6 \sqrt{5}$ D、过A、 $M$ 、 $N$ 三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形

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三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若直线 $x + a y = 0$ 与直线 $(a + 1) x + 2 y + a - 2 = 0$ 平行，则 $a =$ ．

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14. 点 $A (1 ， 2 ， 1)$ ， $B (3 ， 3 ， 2)$ ， $C (1 ， 4 ， 3)$ ，若 $D$ 在线段 $A B$ 上，且满足 $C D ⊥ A B$ ，则点 $D$ 的坐标为．

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15. 已知函数 $f (x) = e^{x + 1} ， g (x) = l n x + 1$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数.设直线 $y = t (t > 0)$ 与曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 分别交于 $A (x_{1} ， f (x_{1})) ， B (x_{2} ， g (x_{2}))$ 两点，若对任意 $t > 0$ ，均有 $x_{2} - x_{1} > a$ 成立，则 $a$ 的取值范围为.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{x}{e^{x + e}} - e^{2} ， x \leq 0 \\ - x^{2} - \frac{1}{4} ， x > 0 \end{array}$ ，点 $M ， N$ 是函数 $y = f (x)$ 图象上不同的两个点，设 $O$ 为坐标原点，则 $t a n ∠ M O N$ 的取值范围是．

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四、解答题（本大题共5小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛；从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， …， $[90 ， 100]$ 得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求频率分布直方图中a的值；

(2)、求样本成绩的第75百分位数；

(3)、已知落在 $[50 ， 60)$ 的平均成绩是51，方差是7，落在 $[60 ， 70)$ 的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩的总平均数 $\bar{z}$ 和总方差 $s^{2}$ ．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D / / B C$ ， $P A = B C = 3$ ， $A B = A D = 2$ ， $P B = \sqrt{13}$ ， $E$ 为 $P D$ 中点，点 $F$ 在 $P C$ 上，且 $P C = 3 F C$ ．

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求平面 $F A E$ 与平面 $A E D$ 夹角的余弦值；

(3)、线段 $A C$ 上是否存在点 $Q$ ，使得 $D Q / /$ 平面 $F A E$ ，说明理由？

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19. 如图，公路 $A M 、 A N$ 围成的是一块顶角为 $α$ 的角形耕地，其中 $t a n α = - 1$ ，在该块土地中 $P$ 处有一小型建筑，经测量，它到公路 $A M 、 A N$ 的距离分别为 $1 k m ， \sqrt{2} k m$ ，现要过点 $P$ 修建一条直线公路 $B C$ ，将三条公路围成的区域 $A B C$ 建成一个工业园.

(1)、以 $A$ 为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出 $P$ 点的坐标；

(2)、三条公路围成的工业园区 $A B C$ 的面积恰为 $4 k m^{2}$ ，求公路 $B C$ 所在直线方程.

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20. 已知函数 $f (x) = a x - l n x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、证明：当 $0 < a < 1$ 时， $\exists x \in (0 ， + \infty)$ ，使得 $f (x) < 3 a - a^{2} - l n 2$ ．

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $M (\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，且离心率为 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、椭圆 $C$ 和圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ ．过点 $A (m ， 0) (m > 1)$ 作直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ，且两直线的斜率之积等于1， $l_{1}$ 与圆 $O$ 相切于点 $P$ ， $l_{2}$ 与椭圆相交于不同的两点 $M$ 、 $N$ ，求 $m$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{a (x + 4)}{e^{x}}$ ，其中 $a \in R$ 且 $a \neq 0$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若存在实数 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的“不动点”求函数 $f (x)$ 的“不动点”的个数；

(3)、若关于x的方程 $f (f (x)) = f (x)$ 有两个相异的实数根，求a的取值范围．

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