浙江省台金七校联盟2023-2024学年高一上学期11月期中联考数学试题

试卷更新日期：2023-12-11 类型：期中考试

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一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 设集合 $A = {x | 1 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x | 2 < x < 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 1 \leq x < 4}$ B、 ${x | 1 < x < 4}$ C、 ${x | 2 < x \leq 3}$ D、 ${x | 2 \leq x \leq 3}$

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2. 下列各组函数是同一个函数的是（）

A、 $y = \sqrt{x^{2}}$ 与 $y = | x |$ B、 $y = (\sqrt{x})^{2}$ 与 $y = \sqrt[3]{x^{3}}$ C、 $y = \frac{x^{2} - 9}{x + 3}$ 与 $s = t - 3$ D、 $y = \sqrt{(x + 1) (x - 2)}$ 与 $y = \sqrt{(x + 1)} \sqrt{(x - 2)}$

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3. 已知 $3^{a} = 5$ ， $3^{b} = 7$ ，则 $9^{a - b} =$ （）

A、 $\frac{5}{7}$ B、 $\frac{7}{5}$ C、 $\frac{49}{25}$ D、 $\frac{25}{49}$

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4. 已知 $n \in N^{*}$ ，则“ $\sqrt[n]{a^{n}} = a$ ”是“ $a > 0$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 函数 $f (x) = (2^{x} - 2^{- x}) (x^{4} - x^{2})$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $a > 1$ ， $b > \frac{1}{2}$ ，且 $2 a + b = 3$ ，则 $\frac{1}{a - 1} + \frac{1}{2 b - 1}$ 的最小值为（）

A、 $1$ B、 $\frac{9}{2}$ C、 $9$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，且 $f (- 2) = 0$ ，则不等式 $x f (x + 2) \geq 0$ 的解集是（）

A、 $[- 4 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 4) \cup (0 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 4] \cup (- 2$ ， $0]$

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8. 取整函数最早出现在著名科学家阿兰 $\cdot$ 图灵 $(A l a n T u r i n g)$ 在 $20$ 世纪 $30$ 年代提出的图灵机理论中。图灵机是一种理论上的计算模型，其中操作包括整数运算和简单逻辑判断。由于图灵机需要进行整数计算，因此取整函数成为了必需的工具之一。现代数学中，常用符号 $[x]$ 表示为不超过 $x$ 的最大整数，如 $[1.4] = 1$ ，现有函数 $f (x) = x - [x]$ ， $f (x) = k \sqrt{x}$ 在区间 $[1，5]$ 上恰好有三个不相等的实数解，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{6}}{6} ， \frac{\sqrt{5}}{5})$ B、 $[\frac{\sqrt{5}}{5} ， \frac{1}{2})$ C、 $[\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ D、 $[\frac{\sqrt{5}}{5} ， \frac{\sqrt{3}}{3})$

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二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 我们常拿背诵圆周率 $π (π = 3.14159265358979323846264338327950288 \dots)$ 来衡量某人的记忆水平，如果记圆周率 $π$ 小数点后第 $n$ 位数字为 $f (n)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $y = f (n)$ ， $n \in N^{*}$ 是一个函数 B、当 $n = 6$ 时， $f (n) = 3.14159$ C、 $f (4) = f (8)$ D、 $f (n) \in {0，1 ， 2，3 ， 4，5 ， 6，7 ， 8，9}$

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10. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 是奇函数，且 $x > 0$ 时 $f (x) = 3 x + \frac{4}{x}$ ，则下列叙述正确的是（）

A、当 $x < 0$ 时 $f (x) = - 3 x - \frac{4}{x}$ B、 $f (0) = 0$ C、 $f (x)$ 在区间 $(- 1，0)$ 上单调递减 D、函数 $y = f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上的最小值为 $4 \sqrt{3}$

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11. 下列命题叙述正确的是（）

A、 $\forall a$ ， $b \in R^{+}$ 且 $a > b$ 时，当 $m > 0$ 时， $\frac{a + m}{b + m} > \frac{a}{b}$ B、 $\forall a$ ， $b \in R^{+}$ 且 $a > b$ 时，当 $m < 0$ 时， $\frac{b + m}{a + m} < \frac{b}{a}$ C、 $\forall a$ ， $b \in R^{+}$ 且 $a > b$ 时，当 $m > 0$ 时， $\frac{b + m}{a + m} > \frac{b}{a}$ D、 $\exists a$ ， $b \in R^{+}$ 且 $a > b$ 时，当 $m > 0$ 时， $\frac{b - m}{a - m} < \frac{b}{a}$

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12. 若函数 $f (x)$ 在定义域 $D$ 内的某区间 $M$ 上单调递增，且 $\frac{f (x)}{x}$ 在 $M$ 上也单调递增，则称 $f (x)$ 在 $M$ 上是“强增函数”，则下列说法正确的是（）

A、若函数 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ ，则存在 $M$ 使 $f (x)$ 是“强增函数” B、若函数 $f (x) = x^{2} + x^{3}$ ，则 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的“强增函数” C、若函数 $f (x) = 2^{x}$ ，则存在区间 $M$ ，使 $f (x)$ 在 $M$ 上不是“强增函数” D、若函数 $f (x) = x^{2} + (a - 3) x + a$ 在区间 $[1 ， + \infty)$ 上是“强增函数”，则 $a = 1$

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三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. $8^{\frac{2}{3}} + \sqrt{(3 - π)^{2}} + (\frac{16}{81})^{- \frac{3}{4}} =$ ．

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14. 函数 $y = (- x^{2} + 4 x)^{\frac{1}{2}}$ 的单调递增区间是．

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15. 函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 x ， x ⩽ 1 ， \\ \frac{8}{x} - 5 ， x > 1 . \end{array}$ 当 $f (f (a)) = 8$ 时，实数 $a =$ ．

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16. 已知函数 $y = f (x)$ 与函数 $y = g (x)$ ，满足 $g (x) = f (- x)$ ，当 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 在区间 $[a ， b]$ 上单调性不同，则称区间 $[a ， b]$ 为函数 $y = f (x)$ 的“异动区间” $.$ 若区间 $[- 1，2]$ 是函数 $f (x) = | (\frac{1}{5})^{x} - t |$ 的“异动区间”，则 $t$ 的取值范围是．

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四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知集合 $A = {x | \frac{x - 8}{x + 3} < 0}$ ， $B = {x | (x - 1) (x - 3 a - 2) \leq 0}$ ．

(1)、若 $a = 3$ ，求 $A \cup B$ ， $(∁_{R} A) \cap B ；$

(2)、若 $A \cap B = B$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x (a ， b$ 为实数，且 $a \neq 0)$ ，满足条件 $f (x + 3) = f (- x - 1)$ ．

(1)、方程 $f (x) = x$ 有两个相等的实数根时，求函数 $f (x)$ 的解析式 $；$

(2)、不等式 $f (x) \geq 2 x - 1$ 的解集是 ${x | - 1 \leq x \leq 2}$ ，求函数 $f (x)$ 的解析式．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{a x + 1}{x^{2} + 2}$ ，其中 $a > 0$ ．

(1)、当 $a = 2$ ，求函数的值域 $；$

(2)、 $g (x) = (x^{3} + 2 x) \cdot f (x)$ ，求 $g (x)$ 区间 $[- 2，2]$ 上的最小值．

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20. 已知指数函数 $y = f (x)$ ，且 $f (- 2) = \frac{1}{9}$ ，定义在 $R$ 上的函数 $g (x) = \frac{- f (x) + n}{3 f (x) + m}$ 是奇函数．

(1)、求 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的解析式 $；$

(2)、若对任意的 $t \in R$ ，不等式 $g (t^{2} + 1) + g (2 t^{2} + 2 k t) < 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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21. 天气渐冷，某电子设备生产企业准备投入生产“暖手宝”。预估生产线建设等固定成本投入为 $100$ 万，每生产 $x$ 万个还需投入生产成本 $R (x)$ 万元，且据测算 $R (x) = \{\begin{array}{l} \frac{1}{2} x ， 0 ⩽ x ⩽ 8 ， \\ x^{2} + 5 x - 100，8 < x ⩽ 20 ， \\ 46 x + \frac{400}{x - 10} - 560 ， x > 20 . \end{array}$ 若该公司年内共生产该款“暖手宝” $x$ 万只，每只售价 $45$ 元并能全部销售完．

(1)、求出利润 $G ($ 万元 $)$ 关于年产量 $x$ 万个的函数解析式 $G (x) ；$

(2)、当产量至少为多少个时，该公司在该款“暖手宝”生产销售中才能收回成本 $；$

(3)、当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大 $?$ 并求出最大利润．

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22. 定义在 $(- 1，1)$ 的函数 $f (x)$ 满足：对任意的 $x$ ， $y \in (- 1，1)$ ，都有 $f (x) + f (y) = f (\frac{x + y}{1 + x^{2} + y^{2}})$ ，且当 $x \in (0，1)$ 时， $f (x) < 0$ ．

(1)、求证：函数 $f (x)$ 是奇函数 $；$

(2)、求证：函数 $f (x)$ 在 $(0，1)$ 上是减函数 $；$

(3)、若 $f (- \frac{1}{2}) = 1$ ，且 $\forall x \in [- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}]$ ， $\forall a \in [- 1，1]$ ， $f (x) \geq - t^{2} + 4 a t - 4$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围．

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