贵州省黔西南州重点学校2023-2024学年高一上学期数学第三次质量检测试卷

试卷更新日期：2023-12-11 类型：月考试卷

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一、单选题（每题5分）

1. 已知集合 $A = {x ∣ - 1 < x < 1} ， B = {x ∣ 0 \leq x \leq 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 2]$ C、 $(1 ， 2]$ D、 $(0 ， 1)$

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2. 命题：“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 3 x + 4 < 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \notin R$ ， $x^{2} - 3 x + 4 \geq 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 3 x + 4 \geq 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 3 x + 4 \geq 0$ D、 $\forall x \notin R$ ， $x^{2} - 3 x + 4 \geq 0$

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3. 函数 $f (x) = \sqrt{\frac{2 - x}{x}} + {(x - 1)}^{0}$ 的定义域为（）

A、 $[0 ， 1) ∪ (1 ， 2]$ B、 $(- \infty ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 2]$ D、 $(0 ， 1) ∪ (1 ， 2]$

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4. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，满足 $f (x + 2) = f (x - 2)$ 且 $f (- 1) = 1$ ，则 $f (2021) =$ （）

A、4 B、-4 C、1 D、-1

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5. 已知 $a = {(\frac{3}{2})}^{- 0.6} ， b = l o g_{\frac{1}{3}} \frac{1}{4} ， c = {(\frac{2}{3})}^{0.9}$ ，则（）

A、 $b > c > a$ B、 $c > a > b$ C、 $b > a > c$ D、 $a > c > b$

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6. 函数 $f (x) = x^{2} l o g_{4} \frac{2 + x}{2 - x}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 数学上有两个重要的函数：狄利克雷函数与高斯函数，分别定义如下：对任意的 $x ∈ R$ ，函数 $D (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x 为有理数 \\ 0 ， x 为无理数 \end{array}$ 称为狄利克雷函数；记 $[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数，则称 $f (x) = [x]$ 为高斯函数，下列关于狄利克雷函数与高斯函数的结论，错误的是（）

A、 $D (f (x)) = 1$ B、 $D (x + 1) = D (x)$ C、 $f (x) + f (- x) = 0$ D、 $f (D (x))$ 的值域为 ${0 ， 1}$

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8. 已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x^{2} - a x}$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上是减函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 2]$ B、 $(- \infty ， 0]$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $[0 ， + ∞)$

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二、多选题（每题5分）

9. 下列式子中正确的是（）

A、 $l g (l g 10) = 0$ B、若 $10 = l g x$ ，则 $x = 100$ C、若 $l o g_{25} x = \frac{1}{2}$ ，则 $x = \pm 5$ D、 $2^{4 + l o g_{2} 5} = 80$

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10. 下列说法正确的是（）

A、命题“ $\forall x > 0$ ，都有 $e^{x} > x + 1$ ”的否定是“ $\exists x \leq 0$ ，使得 $e^{x} \leq x + 1$ ” B、当 $x > 1$ 时， $2 x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2} + 2$ C、若不等式 $a x^{2} + 2 x + c > 0$ 的解集为 ${x | - 1 < x < 2}$ ，则 $a + c = 2$ D、“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的充分不必要条件

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11. 设奇函数 $f (x)$ 与偶函数 $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且在区间 $I$ 上都是单调增函数，则（）

A、 $f (x) + g (x)$ 不具有奇偶性，且在区间 $I$ 上是单调增函数 B、 $f (x) - g (x)$ 不具有奇偶性，且在区间 $I$ 上的单调性不能确定 C、 $f (x) g (x)$ 是奇函数，且在区间 $I$ 上是单调增函数 D、 $f (g (x))$ 是偶函数，且在区间 $I$ 上的单调性不能确定

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12. 下列命题正确的有（）

A、 $f (x)$ 定义域为 $[- 2 ， 2]$ ，则 $f (x + 1)$ 的定义域为 $[- 3 ， 1]$ B、 $f (x) = x^{3} + 1$ 是 $R$ 上的奇函数 C、函数 $y = x^{2} + 2 x$ 的值域为 $(0 ， + ∞)$ D、函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上为增函数

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三、填空题（每题5分）

13. 计算： $1 6^{- \frac{1}{2}} - {(\frac{27}{8})}^{\frac{2}{3}} + \sqrt[4]{{(3 - π)}^{4}} =$ ．

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14. 若函数 $f (x + 1)$ 的定义域为 $[- 2 ， 3]$ ，则 $f (x)$ 的定义域为．

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15. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} (3 a - 1) x + 2 a ， x \leq 1 \\ l o g_{a} x ， x > 1 \end{array}$ 是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为．

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16. 若 $3^{m} - 3^{- m} = 2 \sqrt{3}$ ，则 $9^{m} + 9^{- m}$ 的值为.

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四、解答题（17题10分，其余每题12分）

17. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + 3 m - 9) x^{m - 1} (m \in R)$ 为偶函数.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $(2 - a)^{\frac{m}{2} + 3} > (2 a - 1)^{\frac{m}{2} + 3}$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = a \cdot 4^{x} - b \cdot 2^{x + 1} - 1 (a ， b \in R)$ ，且 $f (0) = - 4$ ， $f (1) = - 5$ ．

(1)、求a ， b的值，并写出 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = f (1 - x)$ ，求 $g (x)$ 在 $x \in [- 1 ， 2]$ 的最大值和最小值．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{a x + b}$ 是定义域上的奇函数，且 $f (- 1) = - 2$ ．

(1)、判断并证明函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上的单调性；

(2)、令函数 $g (x) = f (x) - m$ ，若 $g (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上有两个零点，求实数 $m$ 的取值范围．

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20. 已知 $m \in R$ ，命题 $p$ ： $m^{2} - m - 6 < 0$ ，命题 $q$ ：函数 $f (x) = 2 x^{2} - m x + 1$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上存在零点.

(1)、若 $p$ 是真命题，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ ， $q$ 中有一个为真命题，另一个为假命题，求 $m$ 的取值范围.

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21. 某手机生产企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产 $x$ （千部）手机，需另投入成本 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = {\begin{cases} 10 x^{2} + 100 x ， 0 < x < 40 \\ 601 x + \frac{10000}{x} - 7450 ， x \geq 40 \end{cases}$ .由市场调研知，每部手机售价0.6万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.

(1)、求出2023年的利润 $W (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （千部）的函数解析式（利润＝销售额－成本）；

(2)、 2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

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22. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (2^{x} + 1) + a x$ 是偶函数.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、设 $g (x) = f (x) + x$ ， $h (x) = x^{2} - 2 x + m$ ，若对任意的 $x_{1} \in [0 ， 4]$ ，存在 $x_{2} \in [0 ， 5]$ ，使得 $g (x_{1}) \geq h (x_{2})$ ，求 $m$ 的取值范围.

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