四川省南部名校2023-2024学年高三上册数学第四次月考试卷

试卷更新日期：2023-12-11 类型：月考试卷

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一、单项选择题．本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．

1. 若隻合 $A = {x | l o g_{2} (x - 2) < 0}$ ， $B = {x | x^{2} - 3 x \leq 0}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $(2 ， 3]$ B、 $(- \infty ， 3]$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $[0 ， 3]$

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2. 复数 $\frac{5}{2 - i}$ 的共轭复数是（）

A、 $- 2 - i$ B、 $- 2 + i$ C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 4) ， \vec{b} = (2 ， m)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、25 B、5 C、 $2 \sqrt{10}$ D、 $\sqrt{5}$

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4. 若 $a = 3^{0.2}$ ， $b = l o g_{π} 3$ ， $c = l o g_{3} c o s \frac{\sqrt{2}}{4} π$ ，则（）

A、 $b > c > a$ B、 $b > a > c$ C、 $a > b > c$ D、 $c > a > b$

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5. 在△ABC中，“ $\sin A > \sin B$ ”是“ $A > B$ ”的( )

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和．已知 $S_{4} = 0 ， a_{5} = 5$ ，则

A、 $a_{n} = 2 n - 5$ B、 $a_{n} = 3 n - 10$ C、 $S_{n} = 2 n^{2} - 8 n$ D、 $S_{n} = \frac{1}{2} n^{2} - 2 n$

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7. 基本再生数 $R_{0}$ 与世代间隔 $T$ 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： $I (t) = e^{r t}$ 描述累计感染病例数 $I (t)$ 随时间 $t$ (单位：天)的变化规律，指数增长率 $r$ 与 $R_{0}$ ， $T$ 近似满足 $R_{0} = 1 + r T$ ．有学者基于已有数据估计出 $R_{0}$ =3.07， $T$ =6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(参考数据：ln2≈0.69)（）

A、1.5天 B、2天 C、2.5天 D、3.5天

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8. 函数 $f (x) = \frac{2 s i n (π x)}{e^{x} + e^{- x}}$ 在区间 $[- 2 ， 2]$ 上的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知函数 $f (x) = 2 s i n ω x + 1 (ω > 0)$ 在区间 $[\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ 上是增函数，且在区间 $[0 ， π]$ 上存在唯一的 $x_{0}$ 使得 $f (x_{0}) = 3$ ，则 $ω$ 的取值不可能为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、1

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (2 - a) x + 3 a ， x < 1 \\ 2 \ln x ， x \geq 1 \end{array}$ 的值域为 $R$ ，那么实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1]$ B、[-1，2） C、（0，2） D、 $(- 2 ， 1]$

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11. 在 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，若 $\sqrt{3} s i n B + 2 c o s^{2} \frac{B}{2} = 3$ ， $\frac{c o s B}{b} + \frac{c o s C}{c} = \frac{s i n A s i n B}{6 s i n C}$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的面积为（）

A、 $12 π$ B、 $16 π$ C、 $24 π$ D、 $64 π$

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12. 已知函数 $f (x) = x e^{x}$ ， $g (x) = 2 x \ln 2 x$ ，若 $f (x_{1}) = g (x_{2}) = t$ ， $t > 0$ ，则 $\frac{\ln t}{x_{1} x_{2}}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{e^{2}}$ B、 $\frac{4}{e^{2}}$ C、 $\frac{1}{e}$ D、 $\frac{2}{e}$

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x - 1 | ， x \leq 0 \\ l n x ， x > 0 . \end{array}$ ，则 $f (f (\frac{1}{e})) =$ .

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14. 在平行四边形 $A B C D$ 中，点E满足 $\vec{A C} = λ \vec{A E}$ 且 $\vec{D E} = \frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{3}{4} \vec{A D}$ ，则实数 $λ =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = c o s x + (x + 1) s i n x + 1$ 在区间 $[0 ， 2 π]$ 上的最小值为．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | 3^{x} - 1 | ， x < 1 \\ - 4 x^{2} + 16 x - 13 ， x \geq 1 \end{array}$ ，函数 $g (x) = f (x) - a$ ，则下列结论正确的是．
①若 $g (x)$ 有3个不同的零点，则a的取值范围是 $[1 ， 2)$
②若 $g (x)$ 有4个不同的零点，则a的取值范围是 $(0 ， 1)$
③若 $g (x)$ 有4个不同的零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4} (x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ ，则 $x_{3} + x_{4} = 4$
④若 $g (x)$ 有4个不同的零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4} (x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ ，则 $x_{3} x_{4}$ 的取值范围是 $(\frac{13}{4} ， \frac{7}{2})$

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三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，且 $2 a_{1} + 3 a_{2} = 1, a_{3}^{2} = 9 a_{2} a_{6}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设b_n＝log₃a₁＋log₃a₂＋…＋log₃a_n ，求数列 ${\frac{1}{b_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} s i n (x + \frac{π}{4}) c o s x - \frac{1}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递减区间；

(2)、若将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍(纵坐标不变)，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求函数 $y = g (x)$ 在区间 $[0 ， π]$ 上的值域．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - l n x$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的极值.

(2)、若方程 $f (x) = 1$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上有解，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 在① $(a - c) (s i n A + s i n C) = b (s i n A - s i n B)$ ， ② $2 c c o s C = a c o s B + b c o s A$ ， ③ $△ A B C$ 的面积为 $\frac{1}{2} c (a s i n A + b s i n B - c s i n C)$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.
已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 ▲ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $D$ 为 $A B$ 的中点，且 $c = 2$ ， $C D = \sqrt{3}$ ，求 $a$ ， $b$ 的值.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x - a l n x ， g (x) = a x ， (a > - 2)$ ．

(1)、讨论函数 $F (x) = f (x) + g (x)$ 的单调性；

(2)、若不等式 $\frac{s i n x}{2 + c o s x} \leq g (x)$ 对 $x \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + t c o s α \\ y = 1 + t s i n α \end{array}$ （ $t$ 为参数）， $α \in [0 ， π)$ ．以 $O$ 为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 c o s θ$ ．

(1)、求 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、已知点 $P (1 ， 1)$ ，设 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的交点为 $A$ ， $B$ ．当 $\frac{1}{{| P A |}^{2}} + \frac{1}{{| P B |}^{2}} = 1$ 时，求 $C_{1}$ 的极坐标方程．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 3 | + | 2 x - 2 |$ ， $g (x) = s i n 2 x$ ．

(1)、求函数 $f (x) + g (x)$ 的最小值；

(2)、设 $a ， b \in (- 1 ， 1)$ ，求证： $| 2 a + 1 | - | 1 - 2 b | < | 2 a b + 2 |$ ．

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