2023-2024学年初中数学七年级上册 1.1 分式同步分层训练培优卷(湘教版)

试卷更新日期：2023-12-11 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列各式从左到右的变形正确的是（）

A、 $\frac{a^{6}}{a^{3} b} = \frac{a^{2}}{b}$ B、 $\frac{a + 3 c}{a} = 3 c$ C、 $\frac{a - 3}{a^{2} - 9} = \frac{1}{a - 3}$ D、 $\frac{a^{2} - 9}{a^{2} - 6 a + 9} = \frac{a + 3}{a - 3}$

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2. 分式 $\frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 2 a + 1}$ 的值等于0，则 $a$ 的值为（）

A、0 B、1 C、-1 D、±1

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3. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中是和谐分式的是（）

A、 $\frac{x^{2} - y^{2}}{{(x + y)}^{2}}$ B、 $\frac{x + y}{x^{2} - y^{2}}$ C、 $\frac{x - 2 y}{x^{2} - y^{2}}$ D、 $\frac{x - 2}{x^{2} + 2}$

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4. 使得分式 $\frac{2 m}{m + 3}$ 值为零的 $m$ 的值是（）

A、 $m = 0$ B、 $m = 2$ C、 $m \neq - 3$ D、 $m \neq 3$

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5. 下列分式中，不是最简分式的是（）

A、 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$ B、 $\frac{x + 1}{x^{2} - 1}$ C、 $\frac{x^{2} - 1}{x}$ D、 $\frac{x - 1}{x + 1}$

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6. 对于非负整数x，使得 $\frac{x^{2} + 3}{x + 3}$ 是一个正整数，则符合条件x的个数有（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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7. 若 $x$ 是整数，则使分式 $\frac{8 x + 2}{2 x - 1}$ 的值为整数的 $x$ 值有（）个.

A、2 B、3 C、4 D、5

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8. 将甲、乙、丙三个正分数化为最简分数后，其分子分别为6、15、10，其分母的最小公倍数为360．判断甲、乙、丙三数的大小关系为何？（）

A、乙＞甲＞丙 B、乙＞丙＞甲 C、甲＞乙＞丙 D、甲＞丙＞乙

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二、填空题

9. 若分式 $\frac{2 x}{x - 1}$ 的值为0，则x的值为．

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10. 若分式 $\frac{3}{x - 8}$ 有意义，则x的取值范围是．

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11. 分式 $\frac{(m + 1) (m - 2)}{m^{2} - 3 m + 2}$ 的值为0，则m= ．

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12. 当 $x =$ 时，式子 $\frac{x + 1}{x + 2} \div \frac{x + 3}{x + 4}$ 无意义．

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13. 阅读下面的材料，并解答问题：
分式 $\frac{2 x + 8}{x + 2}$ （ $x \geq 0$ ）的最大值是多少？

解： $\frac{2 x + 8}{x + 2} = \frac{2 x + 4 + 4}{x + 2} = \frac{2 (x + 2)}{x + 2} + \frac{4}{x + 2} = 2 + \frac{4}{x + 2}$ ，

因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以 $\frac{1}{x + 2}$ 的最大值是 $\frac{1}{2}$ ，所以 $2 + \frac{4}{x + 2}$ 的最大值是4，即 $\frac{2 x + 8}{x + 2}$ （x≥0）的最大值是4．

根据上述方法，试求分式 $\frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1}$ 的最大值是.

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三、解答题

14. 已知y＝ $\frac{x^{2}}{3 - 5 x}$ ，x取哪些值时，y的值是零?分式无意义?y的值是正数?

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四、综合题

15. 阅读理解：
材料1：为了研究分式 $\frac{1}{x}$ 与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据：
$x$
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
$\frac{1}{x}$
…
-0.25
$- 0 . \overset{\cdot}{3}$
-0.5
-1
无意义
1
$0.5$
$0 . \overset{\cdot}{3}$
$0.25$
…
从表格数据观察，当 $x > 0$ 时，随着 $x$ 的增大， $\frac{1}{x}$ 的值随之减小，若 $x$ 无限增大，则 $\frac{1}{x}$ 无限接近于0；当 $x < 0$ 时，随着 $x$ 的增大， $\frac{1}{x}$ 的值也随之减小．
材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： $\frac{2 x + 1}{x - 2} = \frac{2 x - 4 + 4 + 1}{x - 2} = \frac{2 (x - 2) + 5}{x - 2} = \frac{2 (x - 2)}{x - 2} + \frac{5}{x - 2} = 2 + \frac{5}{x - 2} ；$
根据上述材料完成下列问题：

(1)、当 $x > 0$ 时，随着 $x$ 的增大， $2 + \frac{1}{x}$ 的值(增大或减小)；当 $x < 0$ 时，随着 $x$ 的增大， $\frac{3 x + 1}{x}$ 的值（增大或减小）；

(2)、当 $x > - 3$ 时，随着 $x$ 的增大， $\frac{2 x + 8}{x + 3}$ 的值无限接近一个数，请求出这个数；

(3)、当 $0 < x < 1$ 时，直接写出代数式 $\frac{3 x - 4}{x - 2}$ 值的取值范围是．

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16. 在小学时我们知道，分数中有“真分数”与“假分数”．在分式中，对于只含有一个字母的分式，我们给出定义：分子的次数小于分母的次数的分式叫做“真分式”，例如 $\frac{3}{x + 1}$ ， $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ ；分子的次数大于或等于分母的次数的分式叫做“假分式”，例如 $\frac{x - 1}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x - 1}$ ．

(1)、现有以下代数式：① $\frac{4}{2 - m}$ ， ② $\frac{m^{2} - 1}{3 m + 2}$ ， ③ $\frac{m - 1}{2}$ ， ④ $\frac{m - 1}{2 + m^{2}}$ ．其中是“真分式”的为；是“假分式”的为（注：填写序号即可）

(2)、若分式 $\frac{3}{2 m + 1}$ 的值为整数，求出整数m的值；

(3)、我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和，例如： $\frac{7}{3} = 2 + \frac{1}{3}$ ．类似的，“假分式”也可以化为整式与“真分式”的和．
例如： $\frac{x}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 1}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}$ ；
$\frac{x^{2}}{x - 1} = \frac{x^{2} - 1 + 1}{x - 1} = \frac{(x + 1) (x - 1) + 1}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$ ．
请解决以下问题：若分式 $\frac{2 m^{2} - m - 1}{m + 1}$ 的值为整数，求出整数m的值．

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$x$	…	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	…
$\frac{1}{x}$	…	-0.25	$- 0 . \overset{\cdot}{3}$	-0.5	-1	无意义	1	$0.5$	$0 . \overset{\cdot}{3}$	$0.25$	…

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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