广东省广州市113中2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2023-12-09 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 已知向量 $\vec{a} = (- 2 ， - 3 ， 1) ， \vec{b} = (2 ， 0 ， 4) ， \vec{c} = (- 4 ， - 6 ， 2)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a} ⊥ \vec{c} ， \vec{b} ⊥ \vec{c}$ B、 $\vec{a} / / \vec{b} ， \vec{a} ⊥ \vec{c}$ C、 $\vec{a} / / \vec{c} ， \vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、以上都不对

查看试题解析
2. 已知倾斜角为 $θ$ 的直线 $l$ 与直线 $x + 2 y - 3 = 0$ 垂直，则 $s i n θ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ． D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

查看试题解析
3. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长1的正方形，侧棱 $A A_{1} = 2$ 且 $∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = 60 °$ ，则 $A C_{1} =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{14}$

查看试题解析
4. 已知 $F_{1} (- 8 ， 3) ， F_{2} (2 ， 3)$ ，动点 $P$ 满足 $| P F_{1} | - | P F_{2} | = 10$ ，则点 $P$ 的轨迹是（）

A、双曲线 B、双曲线的一支 C、一条直线 D、一条射线

查看试题解析
5. 焦点在 $x$ 轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ D、 $x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

查看试题解析
6. 已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点 $F_{1} ， F_{2}$ 在 $x$ 轴上，中心在原点，点 $A$ 的坐标为 $(2 ， 2 \sqrt{3})$ ， $P$ 为双曲线右支上一动点，则 $| P F_{1} | + | P A |$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2} + 2$ B、 $2 \sqrt{2} + 4$ C、 $4 \sqrt{2} + 2$ D、 $4 \sqrt{2} + 4$

查看试题解析
7. 点 $P$ 是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的侧面 $D C C_{1} D_{1}$ 内的一个动点，若 $△ A P D$ 与 $△ B C P$ 的面积之比等于2，则点 $P$ 的轨迹是（）

A、圆的一部分 B、椭圆的一部分 C、双曲线的一部分 D、抛物线的一部分

查看试题解析
8. 如图， $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两个焦点，以坐标原点 $O$ 为圆心， $| O F_{1} |$ 为半径的圆与该双曲线左支交于 $A ， B$ 两点，若 $△ F_{2} A B$ 是等边三角形，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $2 \sqrt{3} - 1$ D、 $\sqrt{3} + 1$

查看试题解析

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9. 下列说法正确的是（）

A、直线 $\sqrt{3} x + y + 1 = 0$ 的倾斜角为 $120 °$ B、经过点 $P (2 ， 1)$ ，且在 $x ， y$ 轴上截距互为相反数的直线方程为 $x - y - 1 = 0$ C、直线 $l ： m x + y + 2 - m = 0$ 恒过定点 $(1 ， - 2)$ D、直线 $l_{1} ： a x + 2 a y + 1 = 0 ， l_{2} ： (a - 1) x - (a + 1) y - 4 = 0 ， l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = - 3$ 或0

查看试题解析
10. 已知曲线 $C ： m x^{2} - n y^{2} = 1$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $m n > 0$ ，则 $C$ 为双曲线 B、若 $m > 0$ 且 $m + n < 0$ ，则 $C$ 为焦点在 $x$ 轴的椭圆 C、若 $m > 0 ， n < 0$ ，则 $C$ 不可能表示圆 D、若 $m > 0 ， n = 0$ ，则 $C$ 为两条直线

查看试题解析
11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点 $M (2 ， 1)$ 在椭圆 $C$ 上，直线 $l$ 的斜率等于直线 $O M$ （ $O$ 为坐标原点）的斜率，且直线 $l$ 在 $y$ 轴上的截距为 $m$ ，直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两个不同的点．则下列结论正确的是（）

A、椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $k_{O M} = \frac{1}{2}$ C、 $- 2 < m < 2$ D、 $m \leq - 2$ 或 $m \geq 2$

查看试题解析
12. 如图，棱长为的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为线段 $A_{1} B$ 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）

A、直线 $D_{1} P$ 与 $A C$ 所成的角可能是 $\frac{π}{6}$ B、平面 $D_{1} A_{1} P ⊥$ 平面 $A_{1} A P$ C、三棱锥 $D_{1} - C D P$ 的体积为定值 D、平面 $A P D_{1}$ 截正方体所得的截面可能是直角三角形

查看试题解析

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13. 已知直线 $l_{1} ： a x + 2 y + 3 a - 2 = 0$ 与 $l_{2} ： x + (a + 1) y + 4 = 0$ 平行，则实数 $a$ 的值为．

查看试题解析
14. 已知圆 ${(x - 4)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 169$ ，过点 $(1 ， 1)$ 的直线交圆于 $A ， B$ 两点，则 $| A B |$ 的取值范围为．

查看试题解析
15. 如图，所示的几何体是由正四棱锥 $A B C D$ 和正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 组成的，其中 $A B = 2 ， P A = \sqrt{6}$ ，则 $B_{1}$ 到平面 $P A D$ 的距离为．

查看试题解析
16. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，当 $a = 1$ 时，直线 $x - y + m = 0$ 与双曲线 $C$ 交于不同的两点 $A ， B$ ，且线段 $A B$ 的中点在圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 上，则 $m$ 的值．

查看试题解析

四、解答题（本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. 已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (- 2 ， 4) ， B (4 ， - 6) ， C (5 ， 1)$ .

(1)、求 $A B$ 边上的中线所在直线的方程；

(2)、求经过点 $A$ ，且在 $x$ 轴上的截距和 $y$ 轴上的截距相等的直线的方程.

查看试题解析
18. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y - 1 = 0$ 和 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 10 x - 12 y + 45 = 0$ ．

(1)、求圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 的公共弦所在直线的方程和公共弦长；

(2)、求过点 $P (9 ， 1)$ 且与圆 $C_{2}$ 相切的直线方程．

查看试题解析
19. 已知双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = 2 x$ ，一个焦点到该渐近线的距离为1.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、经过点 $M (1 ， 4)$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A ， B$ 两点，且 $M$ 为线段 $A B$ 的中点，求 $l$ 的方程.

查看试题解析
20. 如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 ， A A_{1} = 4$ . 点 $A_{2} ， B_{2} ， C_{2} ， D_{2}$ 分别在棱 $A A_{1} ， B B_{1} ， C C_{1} ， D D_{1}$ 上， $A A_{2} = 1$ ， $B B_{2} = D D_{2} = 2 ， C C_{2} = 3$ .

(1)、证明： $B_{2} C_{2} / / A_{2} D_{2}$ ；

(2)、点 $P$ 在棱 $B B_{1}$ 上，当二面角 $P - A_{2} C_{2} - D_{2}$ 为 $15 0^{°}$ 时，求 $B_{2} P$ .

查看试题解析
21. 已知圆 $C$ 经过坐标原点 $O$ ，圆心在 $x$ 轴正半轴上，且与直线 $3 x + 4 y - 8 = 0$ 相切．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、直线 $l ： y = k x + 2$ 与圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点．
①求 $k$ 的取值范围；②证明：直线 $O A$ 与直线 $O B$ 的斜率之和为定值．

查看试题解析
22. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F (- 1 ， 0)$ ，左、右顶点及上顶点分别记为 $A 、 B 、 C$ ，且 $\vec{C F} \cdot \vec{C B} = 1$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、若直线 $l ： y = k x - 2$ 与椭圆 $E$ 交于 $M 、 N$ 两点，求 $△ O M N$ 面积的最大值，以及取得最大值时直线 $l$ 的方程．

查看试题解析