广东省东莞、广州、惠州、深圳实验、珠海、中山纪念名校2024届高三上学期数学第三次六校联考试卷

试卷更新日期：2023-12-09 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 集合 $A = {0 ， 1 ， 2}$ ，集合 $B = {- 2 ， 0 ， 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${- 2 ， 0}$ C、 ${- 2 ， 1 ， 0}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 若复数z满足 $(3 - 4 i) z = 1$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{25}$

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3. 已知非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{b} | = 2 | \vec{a} |$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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4. 已知 $t a n (θ + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2} t a n θ - \frac{7}{2}$ ，则 $c o s 2 θ =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x$ 和直线l：y=2x+a，那么“直线l与曲线 $y = f (x)$ 相切”是“ $a = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知a ， b为正实数，且 $a + 2 b = 1$ ，则 $\frac{a^{2} + 1}{a} + \frac{2 b^{2} + 1}{b}$ 的最小值为（）

A、 $1 + 2 \sqrt{2}$ B、 $2 + 2 \sqrt{2}$ C、 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $4 + 2 \sqrt{2}$

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7. 已知三棱锥 $S - A B C$ 如图所示， $A S$ 、 $A B$ 、 $A C$ 两两垂直，且 $A S = A B = A C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别是棱 $A S$ 、 $B S$ 的中点，点 $G$ 是棱 $S C$ 靠近点 $C$ 的四等分点，则空间几何体 $E F G - A B C$ 的体积为（）

A、 $\frac{11 \sqrt{2}}{6}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{13 \sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{3}$

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8. 已知数列 ${a_{k}}$ 为有穷整数数列，具有性质p：若对任意的 $n \in {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ， ${a_{k}}$ 中存在 $a_{i}$ ， $a_{i + 1}$ ， $a_{i + 2}$ ， …， $a_{i + j}$ （ $i \geq 1$ ， $j \geq 0$ ， i ， $j \in N^{*}$ ），使得 $a_{i} + a_{i + 1} + a_{i + 2} + \cdot \cdot \cdot + a_{i + j} = n$ ，则称 ${a_{k}}$ 为4-连续可表数列.下面数列为4-连续可表数列的是（）

A、 $1 ， 1 ， 1$ B、 $1 ， 1 ， 2$ C、 $1 ， 3 ， 1$ D、 $2 ， 3 ， 6$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）

A、 $\vec{a} = (\frac{9}{2} ， k)$ ， $\vec{b} = (k ， 8)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $k = 6$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ 且 $\vec{c} \neq \vec{0}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ C、若点G是 $△ A B C$ 的重心，则 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ D、若向量 $\vec{a} = (- 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， 3)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\frac{\vec{a}}{2}$

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10. 已知函数 $f (x) = c o s^{2} x + s i n x c o s x - \frac{1}{2}$ 的图象为 $C$ ，以下说法中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$ B、图象 $C$ 相邻两条对称轴的距离为 $\frac{π}{2}$ C、图象 $C$ 关于 $(- \frac{π}{8} ， 0)$ 中心对称 D、要得到函数 $y = \frac{\sqrt{2}}{2} s i n x$ 的图象，只需将函数 $f (x)$ 的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位

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11. 若函数 $f (x)$ 的定义域为D ，若对于任意 $x_{1} \in D$ ，都存在唯一的 $x_{2} \in D$ ，使得 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 1$ ，则称 $f (x)$ 为“Ⅰ型函数”，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x) = l n x$ 是“Ⅰ型函数” B、函数 $f (x) = s i n x$ 是“Ⅰ型函数” C、若函数 $f (x)$ 是“Ⅰ型函数”，则函数 $1 - f (x)$ 也是“Ⅰ型函数” D、已知 $m \in R$ ，若 $f (x) = m + s i n x$ ， $x \in [- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 是“Ⅰ型函数”，则 $m = \frac{1}{2}$

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12. 已知棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P为线段 $A_{1} C$ 上一动点，则下列判断正确的是（）

A、存在点P ，使得 $C_{1} P / / A B_{1}$ B、三棱锥 $P - B C_{1} D$ 的外接球半径最小值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、当P为 $A_{1} C$ 的中点时，过P与平面 $B C_{1} D$ 平行的平面截正方体所得的截面面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、存在点P ，使得点P到直线 $B_{1} C_{1}$ 的距离为 $\frac{4}{5}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + (a + b) x + 2 > 0$ 的解集为 $(- 3 ， 1)$ ，则 $a + b =$ .

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $S_{n} = 2^{n} - 1$ ，则 $l o g_{2} a_{10} =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \begin{array}{l} | 2^{x} - 1 | ， x \leq 1 \\ {(x - 2)}^{2} ， x > 1 \end{array} \end{array}$ ，关于x的方程 $f^{2} (x) - a \cdot f (x) = 0$ 有六个不等的实根，则实数a的取值范围是.

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16. 如图，已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | \leq \frac{π}{2}$ ）的图象与x轴交于点A ， B ，与y轴交于点C ， $\vec{B C} = 2 \vec{B D}$ ， $∠ O C B = \frac{π}{3}$ ， $| O A | = 2$ ， $| A D | = \frac{2 \sqrt{21}}{3}$ .则函数 $f (x)$ 在 $[1 ， 6]$ 上的值域为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{1} = 1$ ， $n S_{n + 1} = (n + 1) S_{n} + n^{2} + n$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、证明：数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为等差数列，并求 ${S_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，设数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $b c o s A + a c o s B = - 2 c c o s A$ .

(1)、求角 $A$ 的值；

(2)、已知点 $D$ 为 $B C$ 的中点，且 $A D = 2$ ，求 $a$ 的最大值.

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19. 若二次函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) + f (x) = - x^{2} - 5 x - \frac{5}{2}$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = x l n x + f (x)$ ，解关于 $x$ 的不等式： $g (x^{2} + x) \geq g (2)$ .

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20. 如图（1）所示，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 6 0^{∘}$ ，过点 $A$ 作 $A D ⊥ B C$ ，垂足 $D$ 在线段 $B C$ 上，且 $A D = 2 \sqrt{3}$ ， $C D = \sqrt{5}$ ，沿 $A D$ 将 $△ C D A$ 折起（如图（2）），点 $E$ 、 $F$ 分别为棱 $A C$ 、 $A B$ 的中点.

(1)、证明： $A D ⊥ E F$ ；

(2)、若二面角 $C - D A - B$ 所成角的正切值为 $2$ ，求二面角 $C - D F - E$ 所成角的余弦值.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公比大于0的等比数列， $a_{1} = 4$ ， $a_{3} = 64$ .数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{n} = a_{2 n} + \frac{1}{a_{n}}$ （ $n ∈ N^{∗}$ ）.

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明： ${b_{n}^{2} - b_{2 n}}$ 是等比数列；

(3)、证明： $\sum_{n}^{k = 1} \sqrt{\frac{(2 k - 1) (2 k + 1)}{b_{k}^{2} - b_{2 k}}} < 2 \sqrt{2} (k \in N *)$ .

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22. 已知函数 $f (x) = x (t - l n x)$ ， $t \in R$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $t = 1$ 时，设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为两个不相等的正数，且 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = a$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > a (2 - e) + e - \frac{1}{e}$ .

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