广东省佛山市南海区2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题

试卷更新日期：2023-12-09 类型：期中考试

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一、选择题

1. 如图，已知直线PM、QP、QM的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 、 $k_{3}$ ，则 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 、 $k_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $k_{1} < k_{2} < k_{3}$ B、 $k_{1} < k_{3} < k_{2}$ C、 $k_{2} < k_{1} < k_{3}$ D、 $k_{3} < k_{2} < k_{1}$

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2. 在一个不透明的袋中有4个红球和 $n$ 个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为 $\frac{8}{9}$ ，则 $n =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 如图，在空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 满足 $\vec{O M} = 2 \vec{M A}$ ，点 $N$ 为 $B C$ 的中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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4. 已知方程 $\frac{x^{2}}{2 - m} + \frac{y^{2}}{m + 1} = 1$ 表示的曲线是椭圆，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(- 1 ， \frac{1}{2}) ∪ (\frac{1}{2} ， 2)$ C、 $(- 1 ， \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2} ， 2)$

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5. 若两异面直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的方向向量分别是 $\vec{n_{1}} = (1 ， 0 ， - 1)$ ， $\vec{n_{2}} = (0 ， - 1 ， 1)$ ，则直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的夹角为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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6. 在圆 $M$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 4 = 0$ 内，过点 $O (0 ， 0)$ 的最长弦和最短弦分别是 $A C$ 和 $B D$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、24 B、12 C、10 D、8

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7. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件 $A$ ， “第二次向上的点数是奇数”为事件 $B$ ， “两次向上的点数之和能被3整除”为事件 $C$ ，则下列说法正确的是（）

A、事件 $A$ 与事件 $B$ 互为对立事件 B、 $P (C) = \frac{1}{6}$ C、 $P (B C) = \frac{1}{6}$ D、事件 $B$ 与事件 $C$ 相互不独立

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8. 已知动点 $P$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的对角线 $B D_{1}$ （不含端点）上.设 $\frac{D_{1} P}{D_{1} B} = λ$ ，若 $∠ A P C$ 为钝角，则实数 $λ$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{3})$ B、 $(0 ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{3} ， 1)$ D、 $(\frac{1}{2} ， 1)$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、设 $A$ ， $B$ 是两个随机事件，且 $P (A) > 0$ ， $P (B) > 0$ ，则 $P (A ∪ B) = P (A) + P (B)$ B、若 $P (A B) = \frac{1}{9}$ ， $P (\bar{A}) = \frac{2}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{3}$ ，则事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立 C、一个人连续射击2次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件 D、从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 $\frac{1}{3}$

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10. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 在 $C$ 上，且 $| P F_{1} |$ 的最大值为3，最小值为1，则（）

A、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ B、 $△ P F_{2} F_{1}$ 的周长为4 C、若 $∠ F_{2} P F_{1} = 60 °$ ，则 $△ P F_{2} F_{1}$ 的面积为 $\sqrt{3}$ D、若 $| P F_{1} | | P F_{2} | = 4$ ，则 $∠ F_{2} P F_{1} = 60 °$

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11. 已知经过点 $P (2 ， 4)$ 的圆 $C$ 的圆心坐标为 $(0 ， t)$ （ $t$ 为整数），且与直线 $l$ ： $\sqrt{3} x - y = 0$ 相切，直线 $m$ ： $a x + y + 2 a = 0$ 与圆 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，下列说法正确的是（）

A、圆 $C$ 的标准方程为 $x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 42$ B、若 $P A ⊥ P B$ ，则实数 $a$ 的值为 $- 2$ C、若 $| A B | = 2 \sqrt{2}$ ，则直线 $m$ 的方程为 $x - y + 2 = 0$ 或 $7 x - y + 14 = 0$ D、弦 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹方程为 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$

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12. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A_{1} B_{1}$ 的中点， $P$ 为棱 $B C$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A、存在点 $P$ ，使 $A C_{1} ⊥$ 平面 $D_{1} E P$ B、存在点 $P$ ，使 $P E = P D_{1}$ C、四面体 $E P C_{1} D_{1}$ 的体积为定值 D、二面角 $P - D_{1} E - C_{1}$ 的余弦值取值范围是 $[\frac{\sqrt{5}}{5} ， \frac{2}{3}]$

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三、填空题

13. 已知直线 $3 x + y = 3$ 经过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点和一个顶点，则此椭圆的离心率 $e =$ .

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14. 已知点 $A (1 ， 1 ， 1)$ ，直线 $l$ 过原点 $O$ ，且平行于向量 $(1 ， 0 ， 2)$ ，则点 $A$ 到直线 $l$ 的距离是.

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15. 已知事件 $A$ ， $B$ 相互独立，且 $P (A) = 2 P (\bar{A})$ ， $2 P (B) = P (\bar{B})$ ，则 $P (A B) =$ .

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16. 已知 $A (1 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ，若直线 $x - y + m = 0$ 上存在点 $P$ ，使得 $| P A | = \frac{1}{2} | P B |$ ，则 $m$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C$ 边上的高所在的直线方程为 $x - 2 y + 1 = 0$ ， $∠ A$ 的平分线所在的直线方程为 $y = 0$ ，若点 $B$ 的坐标为 $(1 ， 2)$ ，求：

(1)、点 $A$ 和点 $C$ 的坐标；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 学校为丰富同学们的课余活动，在体艺节活动中举办了艺术比赛，现甲乙两组进入到决赛阶段，决赛采用三局两胜制决出冠军，每一局比赛中甲组获胜的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，且甲组最终获得冠军的概率为 $\frac{1}{2}$ （每局比赛没有平局）

(1)、求 $p$ ；

(2)、已知冠军奖品为28个礼品，在甲组第一局获胜后，比赛被迫取消，奖品分配方案是：如果比赛继续进行下去，按照甲乙两组各自获胜的概率分配礼品，请问按此方案，甲组、乙组分别可获得多少个礼品？

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19. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，点 $E$ 满足 $\vec{D E} = 3 \vec{E A}$ ，点 $F$ 是 $C C_{1}$ 的中点，点 $G$ 满足 $\bar{D G} = \frac{3}{5} \bar{G D_{1}}$ .

(1)、求证： $B$ 、 $E$ 、 $G$ 、 $F$ 四点共面；

(2)、求平面 $E F G$ 与平面 $A_{1} E F$ 夹角的余弦值

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20. 已知椭圆 $C$ ： $x^{2} + 2 y^{2} = 2$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 作倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、求 $A B$ 的长和 $△ A B F_{2}$ 的周长

(2)、求 $△ A B F_{2}$ 的面积

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21. 已知圆 $C$ 经过点 $M (- 2 ， 0)$ ， $N (0 ， 2)$ 两点，且圆心在直线 $x - y = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、已知 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 是过点 $(0 ， 1)$ 且互相垂直的两条直线，且 $l_{1}$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $l_{2}$ 于 $C$ 交于 $P$ 、 $Q$ 两点，求四边形 $A P B Q$ 面积的最大值.

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ A D C = 60 °$ ， $△ P A D$ 为正三角形， $O$ 为 $A D$ 的中点，且平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $M$ 是线段 $P C$ 上的点.

(1)、求证： $O M ⊥ B C$ ；

(2)、是否存在点 $M$ ，使得直线 $A M$ 与平面 $P A B$ 的夹角的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，若存在；求出此时 $\frac{P M}{P C}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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