广东省东莞市四校2023-2024学年高一上学期期中联考数学试卷

试卷更新日期：2023-12-09 类型：期中考试

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一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，一个选项符合要求，选对得5分，错选得0分.）

1. 若集合 $A = {0 ， 1 ， 2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 ${0} \in A$ B、 $0 \notin A$ C、 ${0 ， - 1 ， 1 ， 2} \subseteq A$ D、 $\emptyset \subseteq A$

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2. 命题“ $\forall x \in [0 ， + \infty) . x^{3} + x \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in (- \infty ， 0) . x^{3} + x < 0$ B、 $\forall x \in (- \infty ， 0) . x^{3} + x \geq 0$ C、 $\exists x_{0} \in [0 ， + \infty) . x_{0}^{3} + x_{0} < 0$ D、 $\exists x_{0} \in [0 ， + \infty) . x_{0}^{3} + x_{0} \geq 0$

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3. 设 $x \in R$ ，则“ $x < 1$ ”是“ $x^{2} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $y = l g (2 - x) + \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ 的定义域为（）

A、 $(- 1 ， 2]$ B、 $[- 1 ， 2]$ C、 $(- 1 ， 2)$ D、 $[- 1 ， 2)$

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5. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2^{x} ， x \leq 0 \\ f (x - 3) ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (9)$ 的值为（）

A、 $- 7$ B、 $- 1$ C、0 D、 $\frac{1}{2}$

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6. 设 $a = 3^{0.7} ， b = {(\frac{1}{3})}^{- 0.8} ， c = \log_{0.7} 0.8$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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7. 下列可能是函数 $y = \frac{x^{2} - 1}{e^{| x |}}$ 的图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (1 - 3 a) x + a + 1 ， x < 2 \\ 2 a^{x} ， \begin{array}{l} \begin{array}{l} x \geq 2 \end{array} \end{array} \end{array}$ 满足对任意的 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ B、 $(\frac{1}{3} ， \frac{1}{2}]$ C、 $[\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $(\frac{1}{3} ， 1)$

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二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求.全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分.）

9. 以下结论正确的是（）

A、不等式 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ 恒成立 B、存在 $a$ ，使得不等式 $a + \frac{1}{a} \leq 2$ 成立 C、若 $a ， b \in (0 ， + \infty)$ ，则 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ D、若正实数 $x ， y$ 满足 $x + 2 y = 1$ ，则 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} \geq 10$

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10. 已知 $a > b > 0 ， c < d < 0$ ，则下列不等式中错误的是（）

A、 $- \frac{1}{a} < - \frac{1}{b}$ B、 $c^{2} < c d$ C、 $a + c < b + d$ D、 $\frac{a}{d} < \frac{b}{c}$

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11. 函数 $f (x) = x + 1$ ， $g (x) = (x + 1)^{2}$ ，用 $M (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的较大者，记为 $M (x) = m a x {f (x) ， g (x)}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $M (2) = 3$ B、 $\forall x \geq 1$ ， $M (x) \geq 4$ C、 $M (x)$ 有最大值 D、 $M (x)$ 最小值为0

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12. 已知函数 $f (x)$ 是偶函数， $f (x + 1)$ 是奇函数，当 $x \in [2 ， 3]$ 时， $f (x) = 1 - | x - 2 |$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(- 3 ， - 2)$ 上为减函数 B、 $f (x)$ 的最大值是1 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - 2$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $(- 4 ， - 3)$ 上 $f (x) < 0$

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三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）

13. 不等式 $- x^{2} + 2 x + 8 > 0$ 的解集是.

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14. 设全集 $U$ 是实数集 $R$ ， $M = {x | x < - 2$ 或 $x > 2}$ ， $N = {x | 1 < x < 3}$ ，则图中阴影部分所表示的集合是．

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15. 已知奇函数 $f (x)$ 是定义在 $(- 1 ， 1)$ 上的减函数，则不等式 $f (1 - x) + f (1 - 3 x) < 0$ 的解集为．

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16. 定义：函数 $f (x)$ 在区间 $[a ， b]$ 上的最大值与最小值的差为 $f (x)$ 在区间 $[a ， b]$ 上的极差，记作 $d (a ， b)$ .
①若 $f (x) = x^{2} - 2 x + 2$ ，则 $d (1 ， 2) =$ ；
②若 $f (x) = x + \frac{m}{x}$ ，且 $d (1 ， 2) \neq | f (2) - f (1) |$ ，则实数 $m$ 的取值范围是.

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四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18､19､20､21､22题各12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）

17. 已知集合 $A = {x | - 3 < x < 2} ，$ $B = {x | m - 1 < x < 2 m + 1}$ .

(1)、若 $m = 2$ ，求 $A ∪ B$

(2)、若 $A ∩ B = B$ ，求实数m的取值范围.

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18. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m + 3) x^{m + 1}$ 为偶函数.

(1)、求幂函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = \frac{f (x) + 1}{x}$ ，根据定义证明 $g (x)$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增.

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19. 已知 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = l o g_{\frac{1}{2}} (x + 4) + m$ .

(1)、求 $m$ 的值并求出 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式；

(2)、若 $f (a) > 1$ ，求 $a$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (a^{2} + 6 a + 9) x + a + 1$ ．

(1)、若 $a > 0$ ，且关于x的不等式 $f (x) < 0$ 的解集是 ${x | m < x < n}$ ，求 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值；

(2)、设关于x的不等式 $f (x) < 0$ 在 $[0 ， 1]$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围

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21. 某企业为积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本（单位：元）与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为 $y = \frac{1}{2} x^{2} + 40 x + 3200$ ，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为110元．

(1)、该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？

(2)、为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方案共有两种：
①每日进行定额财政补贴，金额为2300元；
②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为 $30 x$ 元．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方案？为什么？

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22. 已知函数 $f (x)$ 对任意实数 $x ， y$ 恒有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) < 0$ ，且 $f (1) = - 2$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、判断函数单调性，求 $f (x)$ 在区间 $[- 3 ， 3]$ 上的最大值；

(3)、若 $f (x) < m^{2} - 2 a m + 2$ 对所有的 $x \in [- 1 ， 1] ， a \in [- 1 ， 1]$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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