广东省东莞市四校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2023-12-09 类型：期中考试

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一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1. 设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且 $\vec{A O} + \vec{O B} = \vec{D O} + \vec{O C}$ ，则四边形ABCD是（）

A、空间四边形 B、平行四边形 C、等腰梯形 D、矩形

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2. 已知向量 $\vec{a} = (4 ， - 2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (1 ， 5 ， x)$ ，满足 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、2 B、-2 C、 $\frac{14}{3}$ D、 $- \frac{14}{3}$

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3. 直线 $\sqrt{3} x - y - 4 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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4. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{k + 2} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ 的一个焦点坐标为 $(0 ， 2)$ ，则 $k$ 的值为（）

A、1 B、3 C、9 D、81

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5. 已知直线 $l_{1} ： 2 x + 2 y - 1 = 0 ， l_{2} ： 4 x + n y + 3 = 0$ ， $l_{3} ： m x + 6 y - 1 = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ 且 $l_{1} ⊥ l_{3}$ ，则 $m + n$ 的值为（）

A、 $- 10$ B、 $10$ C、 $- 2$ D、2

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6. 已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 和 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0$ ，则两圆的位置关系是（）

A、内切 B、外切 C、相交 D、外离

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7. 若圆 $C$ 经过点 $A (2 ， 5)$ ， $B (4 ， 3)$ ，且圆心在直线 $l$ ： $3 x - y - 3 = 0$ 上，则圆 $C$ 的方程为（）

A、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ B、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 8$ C、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 2$ D、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 10$

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8. 如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P ， Q$ 分别是线段 $C C_{1} ， B D$ 上的点， $R$ 是直线 $A D$ 上的点，满足 $P Q / /$ 平面 $A B C_{1} D_{1} ， P Q ⊥ R Q$ ，且 $P 、 Q$ 不是正方体的顶点，则 $| P R |$ 的最小值是（）

A、 $\frac{\sqrt{30}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{30}}{4}$

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二、多项选择题：每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 关于空间向量，以下说法正确的是（）

A、空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面； B、若对空间中任意一点 $O$ ，有 $\vec{O P} = \frac{1}{6} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$ ，则 $P ， B ， A ， C$ 四点共面； C、已知 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 是空间的一组基底，若 $\vec{m} = \vec{a} + \vec{c}$ ，则 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{m}}$ 也是空间的一组基底； D、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ，则 $⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩$ 是锐角.

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10. 已知直线 $l$ 过直线 $l_{1} ： y = - \frac{1}{3} x + 10$ 和 $l_{2} ： 3 x - y = 0$ 的交点，且原点到直线 $l$ 的距离为3，则 $l$ 的方程可以为（）

A、 $x = 3$ B、 $4 x - 3 y - 15 = 0$ C、 $4 x - 3 y + 15 = 0$ D、 $3 x + 4 y - 15 = 0$

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11. 在空间直角坐标系Oxyz中， $A (2 ， 0 ， 0)$ ， $B (1 ， 1 ， - 2)$ ， $C (2 ， 3 ， 1)$ ，则（）

A、 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = - 5$ B、 $| \vec{A C} | = 2 \sqrt{3}$ C、异面直线OB与AC所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{30}$ D、点O到直线BC的距离是 $\frac{3 \sqrt{42}}{14}$

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12. 已知圆C： $x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $(3 + m) x + 4 y - 3 + 3 m = 0 (m \in R)$ ，则下列结论正确的是（）

A、圆C与曲线 $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + m = 0$ 恰有三条公切线，则 $m = 16$ B、当 $m = 0$ 时，圆C上有且仅有三个点到直线l的距离都等于1 C、直线l恒过第二象限 D、当 $m = 13$ 时，l上动点P作圆C的切线PA，PB，且A，B为切点，则AB经过点 $(- \frac{16}{9} ， - \frac{4}{9})$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. $\vec{a} = (1 ， - 3 ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 1 ， - 3)$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ ．

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14. 已知圆 $C_{1}$ 的方程 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ ，圆 $C_{2}$ 与圆 $C_{1}$ 是同心圆且过点 $A (5 ， 0)$ ，则圆 $C_{2}$ 的标准方程为．

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15. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且 $2 | F O | = | A B |$ ，若 $∠ B A F = \frac{π}{6}$ ，则椭圆C的离心率是.

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16. 在如图所示的三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $C A = 8$ ， $P A = 6$ ， $D$ 为 $A B$ 中点， $E$ 为 $△ P A C$ 内的动点（含边界），且 $P C ⊥ D E$ .当 $E$ 在 $A C$ 上时， $A E =$ ；点 $E$ 的轨迹的长度为.

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四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 设 $x ， y \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x ， 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， y ， 1)$ ， $\vec{c} = (2 ， - 4 ， 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ .

(1)、求 $| \vec{a} + \vec{b} |$ ；

(2)、求向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ 夹角的大小．

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18. 已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (1 ， 3) ， B (3 ， 1)$ .

(1)、求直线 $A B$ 的方程；

(2)、若边 $A B$ 上的中线 $C M$ 所在直线方程为 $2 x - 3 y + p = 0$ ，且 $△ A B C$ 的面积为5，求顶点 $C$ 的坐标．

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19. 已知椭圆 $M ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2，点 $D (0 ， \sqrt{3})$ 在椭圆 $M$ 上，过原点 $O$ 作直线交椭圆 $M$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，且点 $A$ 不是椭圆 $M$ 的顶点，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $H$ ，点 $C$ 是线段 $A H$ 的中点，直线 $B C$ 交椭圆 $M$ 于点 $P$ ，连接 $A P$

(1)、求椭圆 $M$ 的方程及离心率；

(2)、求证： $A B ⊥ A P$ ．

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20. 已知直线 $l$ ： $y = k x + 1 (k \in R)$ 与圆 $C$ ： ${(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ 相交于 $A$ ， $B$ 不同两点.

(1)、求 $k$ 的范围；

(2)、设 $M$ 是圆 $C$ 上的一动点（异于 $A$ ， $B$ ）， $O$ 为坐标原点，若 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 12$ ，求 $△ M A B$ 面积的最大值.

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21. 如图甲，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D = 2 \sqrt{2} ， E$ 为线段 $D C$ 的中点， $△ A D E$ 沿直线 $A E$ 折起，使得 $D C = \sqrt{6}$ ，如图乙.

(1)、求证： $B E ⊥$ 平面 $A D E$ ；

(2)、线段 $A B$ 上是否存在一点 $H$ ，使得平面 $A D E$ 与平面 $D H C$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ ？若不存在，说明理由；若存在，求出 $H$ 点的位置.

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22. 已知圆心在原点的圆被直线 $y = x + 1$ 截得的弦长为 $\sqrt{14} .$

(1)、求圆的方程；

(2)、设动直线 $y = k (x - 1) (k \neq 0)$ 与圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，问在 $x$ 轴正半轴上是否存在定点 $N$ ，使得直线 $A N$ 与直线 $B N$ 关于 $x$ 轴对称？若存在，请求出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

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