广东省东莞市七校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2023-12-09 类型：期中考试

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一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1. 如图，直线 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (4 ， - 2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (1 ， 5 ， x)$ ，满足 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、2 B、-2 C、 $\frac{14}{3}$ D、 $- \frac{14}{3}$

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3. 已知圆的一条直径的端点分别为 $P_{1} (2 ， 5)$ ， $P_{2} (4 ， 3)$ ，则此圆的标准方程是（）

A、 ${(x + 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 8$ B、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 8$ C、 ${(x + 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 2$ D、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 2$

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4. 抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的准线方程是（）

A、 $x = - 1$ B、 $x = - 2$ C、 $y = - 1$ D、 $y = - 2$

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5. 直线 $2 x + (m + 1) y - 2 = 0$ 与直线 $m x + 3 y - 2 = 0$ 平行，那么该两平行线之间距离是（）

A、0 B、 $\frac{5 \sqrt{2}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{5}{3}$

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6. 如图，四边形ABCD为平行四边形， $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ ， $\vec{D F} = \frac{1}{2} \vec{F C}$ ，若 $\vec{D E} = λ \vec{A C} + μ \vec{A F}$ ，则 $λ + μ$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- 1$

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7. 明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别 $\frac{12}{11}$ 、 $\frac{11}{10}$ 、 $\frac{10}{9}$ ，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为 $e_{1}$ 、 $e_{2}$ 、 $e_{3}$ ，则（）.

A、 $e_{1} < e_{3} < e_{2}$ B、 $e_{2} < e_{3} < e_{1}$ C、 $e_{1} < e_{2} < e_{3}$ D、 $e_{2} < e_{1} < e_{3}$

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8. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点P为正方形 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为 $60 °$ 的点P的轨迹长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6} π$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2} π$

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二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ ，则下列关于双曲线 $C$ 的结论正确的是（）

A、实轴长为6 B、焦距为5 C、离心率为 $\frac{4}{3}$ D、焦点到渐近线的距离为4

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10. 已知空间中三点 $A (0 ， 1 ， 0)$ ， $B (2 ， 2 ， 0)$ ， $C (- 1 ， 1 ， 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 是共线向量 B、与 $\vec{A B}$ 同向的单位向量是 $(\frac{2 \sqrt{5}}{5} ， \frac{\sqrt{5}}{5} ， 0)$ C、 $\vec{A B}$ 和 $\vec{B C}$ 夹角的余弦值是 $\frac{\sqrt{55}}{11}$ D、平面 $A B C$ 的一个法向量是 $(1 ， - 2 ， 1)$

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11. 设圆 $O ： x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，点 $A (3 ， 4)$ ，若圆O上存在两点到A的距离为2，则 $r$ 的可能取值（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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12. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， $B C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 交于点 $F$ ，点 $E$ 是线段 $A_{1} B_{1}$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{A F} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A A_{1}}$ B、存在点 $E$ ，使得 $A F ⊥ B E$ C、三棱锥 $B - A E F$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{12}$ D、直线 $A F$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若方程 $\frac{x^{2}}{2 m - 1} - \frac{y^{2}}{5 - m} = 1$ 表示的曲线为焦点在 $x$ 轴上双曲线，则 $m$ 的取值范围为.

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14. 已知 $\vec{a} = (0 ， 1 ， m) ， \vec{b} = (0 ， n ， - 3)$ 分别是平面 $α ， β$ 的法向量，且 $α / / β$ ，则 $m n =$ .

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15. 设半径为3的圆 $C$ 被直线 $l ： x + y - 4 = 0$ 截得的弦 $A B$ 的中点为 $P (3 ， 1)$ ，且弦长 $| A B | = 2 \sqrt{7}$ ，则圆 $C$ 的标准方程.

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16. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $\sqrt{{(x + \sqrt{7})}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x - \sqrt{7})}^{2} + y^{2}} = 8$ ，则代数式 $| 3 x - 4 y - 24 |$ 的最大值为.

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四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.

17. 在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $B D$ 与 $x$ 轴平行， $D (- 3 ， 1)$ ， $A (- 1 ， 0)$ ，点 $E$ 是线段 $A B$ 的中点.

(1)、求点 $B$ 的坐标；

(2)、求过点 $A$ 且与直线 $D E$ 垂直的直线.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A ⊥ A B$ ， $A B = 2 B C = 2$ ， $P D = \sqrt{5}$ ， $P A = 2$ ， $E$ 为 $P D$ 的中点.

(1)、证明： $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求直线 $E B$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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19. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的渐近线方程为 $y = \pm x$ ，且点 $M (2 ， 1)$ 在该双曲线上.

(1)、求双曲线 $C$ 方程；

(2)、若点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C$ 的左、右焦点，且双曲线 $C$ 上一点 $P$ 满足 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，求 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积.

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20. 党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国 $960$ 万平方千米的大地之下拥有超过 $35000$ 座，总长接近赤道长度的隧道（约 $37000$ 千米）.这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”﹔或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽 $A B$ 为 $16$ 米，洞门最高处距路面 $4$ 米.

(1)、建立适当的平面直角坐标系，求圆弧 $A B$ 的方程.

(2)、为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了 $2$ 米宽的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽 $2$ 米，高 $3.6$ 米，则此货车能否通过该洞门？并说明理由.

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21. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D ∥ B C ， A D ⊥ A B$ ，侧面 $P A B ⊥$ 底面 $A B C D ， P A = P B = A D = \frac{1}{2} B C = 2$ ，且 $E ， F$ 分别为 $P C ， C D$ 的中点．

(1)、证明： $D E / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若直线 $P F$ 与平面 $P A B$ 所成的角为 $60 °$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 的夹角的余弦值．

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22. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两焦点 $F_{1} (- 1 ， 0)$ ， $F_{2} (1 ， 0)$ ，且椭圆 $C$ 过 $P (- \sqrt{3} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $F_{1}$ 作不与坐标轴垂直的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，线段 $A B$ 的垂直平分线与 $y$ 轴负半轴交于点 $Q$ ，若点 $Q$ 的纵坐标的最大值为 $- \frac{1}{8}$ ，求 $| A B |$ 的取值范围.

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