广东省东莞市七校2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2023-12-09 类型：期中考试

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一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.

1. 设集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x ∣ x^{2} + 2 x - 3 < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1}$ B、 ${- 1 ， 0}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0}$

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2. “ $| x | < 2$ ”是“ $x < 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $f (x) = l o g_{2} (x + 3) + \frac{1}{x + 2}$ 的定义域是（）

A、 $[- 3 ， + \infty)$ B、 $(- 3 ， - 2) ∪ (- 2 ， + \infty)$ C、 $(- 3 ， + \infty)$ D、 $[- 3 ， 2) ∪ (2 ， + \infty)$

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4. 若不等式 $x^{2} + a x + b > 0$ 的解集是 ${x ∣ x < - 3$ 或 $x > 2}$ ，则 $a$ ， $b$ 的值为（）

A、 $a = 1$ ， $b = 6$ B、 $a = - 1$ ， $b = 6$ C、 $a = 1$ ， $b = - 6$ D、 $a = - 1$ ， $b = - 6$

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5. 函数 $y = a^{x + 2} + 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象过定点（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(2 ， 1)$ C、 $(- 2 ， 2)$ D、 $(2 ， - 2)$

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6. 设 $a = l o g_{0.5} 2$ ， $b = 0 . 5^{2}$ ， $c = 2^{0.5}$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小顺序是（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c < b$

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7. 函数 $f (x) = - x^{2} - 4 x + 2$ 在 $[m ， 0]$ 上的值域为 $[2 ， 6]$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[- 4 ， - 2]$ B、 $[- 4 ， 0]$ C、 $[- 2 ， 0]$ D、 $(- \infty ， - 2]$

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8. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x + 2$ 在 $[2 ， 3]$ 上的值域为 $[2 ， 3]$ ，则 $g (x) = a x^{3} + b x - 1$ 在 $[- 3 ， - 2]$ 上的值域为（）

A、 $[- 5 ， - 4]$ B、 $[- 4 ， - 3]$ C、 $[- 3 ， - 2]$ D、 $[- 2 ， - 1]$

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二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 下列函数中，与函数 $y = x + 1$ 是同一函数的是（）

A、 $y = (\sqrt{x + 1})^{2}$ B、 $y = \sqrt[3]{x^{3}} + 1$ C、 $y = \sqrt[3]{(x + 1)^{3}}$ D、 $y = \frac{x^{2} + 1}{x - 1}$

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10. 若函数 $f (x)$ 同时满足：①对于定义域上的任意 $x$ ，恒有 $f (x) + f (- x) = 0$ ；②对于定义域上的任意 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，恒 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，则称函数 $f (x)$ 为“理想函数”，下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（）

A、 $f (x) = - x$ B、 $f (x) = - \sqrt[3]{x}$ C、 $f (x) = x^{3} + x$ D、 $f (x) = e^{- x} - e^{x}$

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11. 下列说法正确的是（）

A、 $x + \frac{1}{x} (x > 0)$ 的最小值是2 B、 $\frac{x^{2} + 5}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ 的最小值是2 C、 $\frac{x}{x^{2} + x + 1} (x < 0)$ 的最小值是 $- 1$ D、若 $x > 0$ ，则 $2 - 3 x - \frac{4}{x}$ 的最大值是 $2 - 4 \sqrt{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{a} (8 - a x) ， x < 2 \\ 4 - x ， x \geq 2 \end{array}$ 是 $(- \infty ， + \infty)$ 上的减函数，则 $a$ 的值可以是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、2 D、3

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 命题：“ $\forall x \in (1 ， + \infty)$ ， $x^{2} - 1 > 0$ ”的否定是.

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14. $1 6^{\frac{3}{4}} - 4^{l o g_{4} π} + \sqrt{(3 - π)^{2}} + l o g_{6} 2 + l o g_{6} 3 =$ .

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15. 写出一个最小值为2的偶函数 $f (x) =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} + 2 ， x < 1 \\ x^{2} - a x ， x \geq 1 \end{array}$ ，若 $f (f (0)) = - 2$ ，则实数 $a =$ .

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四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x ∣ - 2 < x < 2}$ ， $B = {x ∣ 3 a - 2 < x < 2 a + 1}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A ∪ (C_{U} B)$ ；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求 $a$ 的取值范围.

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18. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m + 3) x^{4 m - m^{2}}$ 是奇函数.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (2 x - 1) < f (2 - x)$ ，求 $x$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (x^{2} + 2 a x + a)$ .

(1)、若 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (0) + f (1) = l o g_{3} 5 \cdot l o g_{5} 9$ ，求 $a$ .

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20. 给定函数 $f (x) = x + 2$ ， $g (x) = x^{2} - 6 x + 8$ ， $h (x) = - x + 8$ ， $\forall x \in R$ ，用 $m (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ ， $h (x)$ 中的较小者，记为 $m (x) = m i n {f (x) ， g (x) ， h (x)}$ .

(1)、求函数 $y = m (x)$ 的解析式，画出其图象，根据图象写出函数的单调区间；

(2)、求不等式 $0 < m (x) \leq 3$ 的解集.

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21. 某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产 $x$ 万件电子芯片需要投入的流动成本为 $f (x)$ （单位：万元），当年产量不超过14万件时， $f (x) = \frac{2}{3} x^{2} + 4 x$ ；当年产量超过14万件时， $f (x) = 17 x + \frac{400}{x} - 80$ .假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完.

(1)、写出年利润 $g (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）

(2)、如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{3^{x} + a}{3^{x} + b}$ ，且 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数.

(1)、求 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，用定义法证明；

(3)、若对任意实数 $m$ ，不等式 $f (m - 1) + f (m^{2} + t) \geq 0$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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