浙江省宁波市江北区五校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-12-08 类型：期中考试

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一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）

1. 抛物线 $y = x^{2} - 2 x + 4$ 的对称轴是（）

A、直线 $x = 2$ B、直线 $x = - 2$ C、直线 $x = 1$ D、直线 $x = - 1$

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2. 下列事件是必然事件的是（）

A、任意一个三角形的内角和等于 $180 °$ B、投掷一个均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次 C、射击运动员射击一次，命中10环 D、宁波今年冬天会下雪

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3. 等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以点A为圆心， $A B$ 的长为半径画 $⊙ A$ ，则点C与 $⊙ A$ 的位置关系是（）

A、点C在 $⊙ A$ 内 B、点C在 $⊙ A$ 上 C、点C在 $⊙ A$ 外 D、以上均不可能

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D、E分别是边 $A B$ 、 $A C$ 上的中点，则 $\frac{S_{△ A D E}}{S_{△ A B C}}$ 的值为（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、4 D、 $\frac{1}{4}$

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5. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数
20
80
100
200
400
1000
“射中8环以上”的次数
18
68
82
168
327
823
“射中8环以上”的频率（结果保留两位小数）
0.90
0.85
0.82
0.84
0.82
0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中8环以上”的概率约是（）

A、0.90 B、0.82 C、0.85 D、0.84

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6. 如图， $B D$ 是 $⊙ O$ 的直径，点A、C是圆上不与点B、D重合的两个点，若 $∠ A B D = 30 °$ ，则 $∠ A C B$ 的度数为（）

A、 $45 °$ B、 $30 °$ C、 $75 °$ D、 $60 °$

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7. 将抛物线 $y = - 3 x^{2}$ 向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的新的抛物线的解析式为（）

A、 $y = - 3 (x + 1)^{2} + 2$ B、 $y = - 3 (x - 1)^{2} - 2$ C、 $y = - 3 (x + 1)^{2} - 2$ D、 $y = - 3 (x - 1)^{2} + 2$

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8. 如图，为测量学校旗杆的高度，小明用长为3.2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（）

A、8.8m B、10m C、12m D、14m

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9. 若 $A (0 ， y_{1})$ 、 $B (- 2 ， y_{2})$ 、 $C (- 3 ， y_{3})$ 为二次函数 $y = - x^{2} - 4 x + 5$ 的图象上的三点，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 、 $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$ C、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ D、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$

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10. 如图，直线 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 与y轴交于点A，与直线 $y = - \frac{1}{2} x$ 交于点B，以 $A B$ 为边向右作菱形 $A B C D$ ，点C恰与原点O重合，抛物线 $y = (x - h)^{2} + k$ 的顶点在直线 $y = - \frac{1}{2} x$ 上移动．若抛物线与菱形的边 $A B$ 、 $B C$ 都有公共点，则h的取值范围是（）

A、 $- 2 \leq h \leq \frac{1}{2}$ B、 $- 2 \leq h \leq 1$ C、 $- 1 \leq h \leq \frac{3}{2}$ D、 $- 1 \leq h \leq \frac{1}{2}$

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二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）

11. 若 $\frac{x}{y} = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{x + y}{y} =$ .

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12. 二次函数 $y = (a - 2) x^{2}$ 的图象开口方向向上，则a的取值范围．

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13. 不透明袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，摸出红球的概率是

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14. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $C D$ 是 $⊙ O$ 的直径，连结 $A D$ ，若 $C D = 2 A D$ ， $A B = B C = 6$ ，则 $⊙ O$ 的半径为．

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15. 已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 的部分图象如图所示，当 $y < 0$ 时，则x的取值范围是．

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16. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形 $A B C D$ 如图所示．将小正方形对角线 $E F$ 双向延长，分别交边 $A B$ ，和边 $B C$ 的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5， $G H = 2 \sqrt{10}$ ，则大正方形的边长为．

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三、解答题（本大题有8小题，第17、18题每题6分，第19、20、21、22题每题8分，第23题10分，第24题12分，共66分）

17. 如图，正三角形网格中，已知两个小正三角形被涂黑．

(1)、再将图①中其余小三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形（画出两种不同的涂法）；

(2)、再将图②中其余小三角形涂黑两个，使整个被涂黑的图案构成一个中心对称图形．

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18. 一只不透明的袋子中装有3个球，球上分别标有数字0，1，2，这些球除了数字外其余都相同，甲、乙两人玩摸球游戏，规则如下：先由甲随机摸出一个球（不放回），再由乙随机摸出一个球，两人摸出的球所标的数字之和为偶数时则甲胜，和为奇数时则乙胜．

(1)、用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果；

(2)、这样的游戏规则是否公平？请说明理由．

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19. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (- 1 ， 1)$ ， $B (- 3 ， 1)$ ， $C (- 1 ， 4)$ ．

(1)、 $△ A B C$ 的外接圆的半径为；

(2)、将 $△ A B C$ 绕点B顺时针旋转 $90 °$ 后得到 $△ A_{1} B C_{1}$ ，请在图中画出 $△ A_{1} B C_{1}$ ；

(3)、在（2）的条件下，求出点C经过的路径长．

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20. 如图， $A C$ 为 $⊙ O$ 的直径， $B D$ 是弦，且 $A C ⊥ B D$ 于点E．连接 $A B$ 、 $O B$ 、 $B C$ ．

(1)、求证： $∠ C B O = ∠ A B D$ ；

(2)、若 $A E = 2$ ， $C E = 8$ ，求弦 $B D$ 的长．

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21. 如图，已知二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $A (3 ， 1)$ 、点 $B (0 ， 4)$ ．

(1)、求该二次函数的表达式及顶点坐标．

(2)、点 $C (m ， n)$ 在该二次函数图象上．
①当 $m = - 1$ 时，求n的值；
②当 $m \leq x \leq 3$ 时，n的最大值为5，最小值为1，请根据图象直接写出m的取值范围．

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22. 如图，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点D、E分别在边 $B C$ 、 $A C$ 上（不与点A、B、C重合），连接 $A D$ 、 $D E$ ，有 $∠ A D E = 45 °$ ．

(1)、证明： $△ B D A ∽ △ C E D$ ．

(2)、若 $B C = 6$ ，当 $△ A D E$ 是等腰三角形时，求 $B D$ 的长．

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23. 随着近几年宁波城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木．根据市场调查与预测，种植树木的利润 $y_{1}$ 与投资量x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润 $y_{2}$ 与投资量x成二次函数关系，如图②所示（利润与投资量的单位：万元）

(1)、分别求出利润 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 关于投资量x的函数关系式．

(2)、如果这个专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，则他至少可以获得多少利润，他能获取的最大利润是多少．

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24. 如图1，E点为x轴正半轴上一点， $⊙ E$ 交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧 $\overset{⌢}{B C}$ 上一个动点，且 $A (- 1 ， 0)$ 、 $E (1 ， 0)$ ．

(1)、 $\overset{⌢}{B C}$ 的度数为 $°$ ；

(2)、如图2，连结 $P C$ ，取 $P C$ 中点G，连结 $O G$ ，则 $O G$ 的最大值为；

(3)、如图3，连接 $A C$ 、 $A P$ 、 $C P$ 、 $C B$ ．若 $C Q$ 平分 $∠ P C D$ 交 $P A$ 于Q点，求 $A Q$ 的长；

(4)、如图4，连接 $P A$ 、 $P D$ ，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证： $\frac{P C + P D}{P A}$ 为定值，并求出这个定值．

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射击次数	20	80	100	200	400	1000
“射中8环以上”的次数	18	68	82	168	327	823
“射中8环以上”的频率（结果保留两位小数）	0.90	0.85	0.82	0.84	0.82	0.82