新高考四大基础题（三角+数列+立体几何+概率）一天两题--专练4-在线组卷题库

1. 各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ ，其前n项和记为 $S_{n}$ ，且满足对 $\forall n \in N_{+}$ ，都有 $2 S_{n} = a_{n}^{2} + a_{n}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $T_{n} = \frac{1}{a_{1}^{2}} + \frac{1}{a_{2}^{2}} + \frac{1}{a_{3}^{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n}^{2}}$ ，证明： $T_{n} < \frac{7}{4}$ ．

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2. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A B ∥ C D$ ， $A B ⊥ A D$ ，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $D P = D A = D C = \frac{1}{2} A B$ ．

(1)、证明：平面 $P B C ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $A D = A P$ ，求平面 $P A C$ 与平面 $P A B$ 夹角的余弦值．

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3. 已知 $△ A B C$ 中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $(a + b) (s i n A - s i n B) = b s i n C$ ．

(1)、证明：A＝2B；

(2)、若a＝3，b＝2，求 $△ A B C$ 的面积．

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4. 为了促进地方经济的快速发展，国家鼓励地方政府实行积极灵活的人才引进政策，被引进的人才，可享受地方的福利待遇，发放高标准的安家补贴费和生活津贴．某市政府从本年度的1月份开始进行人才招聘工作，参加报名的人员通过笔试和面试两个环节的审查后，符合一定标准的人员才能被录用．现对该市1~4月份的报名人员数和录用人才数（单位：千人）进行统计，得到如下表格．

月份	1月份	2月份	3月份	4月份
报名人员数 $x$ /千人	$3.5$	5	$6.5$	7
录用人才数 $y$ /千人	$0.2$	$0.33$	$0.4$	$0.47$

附：经验回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x} ； \sum_{i = 1}^{4} x_{i}^{2} = 128.5 ， \sum_{i = 1}^{4} x_{i} y_{i} = 8.24 .$

(1)、求出y关于x的经验回归方程；

(2)、假设该市对被录用的人才每人发放2万元的生活津贴

（i）若该市5月份报名人员数为8000人，试估计该市对5月份招聘的人才需要发放的生活津贴的总金额；

（ii）假设在参加报名的人员中，小王和小李两人被录用的概率分别为 $p$ ， $3 p - 1$ ．若两人的生活津贴之和的均值不超过3万元，求 $p$ 的取值范围．

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 1 ， a_{1} + a_{2} = a_{3}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 2 n - 1$ ，数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{4 n - 3} = b_{2 n - 1} ， c_{4 n - 2} = a_{2 n - 1} ， c_{4 n - 1} = a_{2 n} ， c_{4 n} = b_{2 n}$ ，求 ${c_{n}}$ 的前 $4 n + 1$ 项和 $S_{4 n + 1}$ ．

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6. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 A C$ ， $D$ 是边 $B C$ 上一点， $∠ C A D = 2 ∠ B A D$ ．

(1)、若 $∠ B A C = \frac{3 π}{4}$ ，求 $\frac{B D}{C D}$ 的值；

(2)、若 $A C = 1$ ，求 $A D$ 的取值范围．

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7. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A D$ 为等边三角形， $M$ 为 $P A$ 的中点， $P D ⊥ A B$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、证明：平面 $M C D ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $A D / / B C$ ， $A D = 2 B C$ ， $C D = 2 A B$ ，求平面 $M C D$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值．

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8. 等差数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 中， $a_{1} ， a_{2} ， a_{3}$ 分别是如表所示第一、二、三行中的某一个数，且其中的任意两个数不在表格的同一列.

第一列
第二列
第三列
第一行
5
8
2
第二行
4
3
12
第三行
16
6
9

(1)、请选择一个可能的 ${a_{1} ， a_{2} ， a_{3}}$ 组合，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式.

(2)、记（1）中您选择的 ${a_{n}}$ 的前n项和为Sn，判断是否存在正整数k，使得 $a_{1} ， a_{k} ， {S_{k}}_{+ 2}$ 成等比数列?若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.

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9. 某高档小区有一个池塘，其形状为直角 $△ A B C$ ， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 2$ 百米， $B C = 1$ 百米，现准备养一批观赏鱼供小区居民观赏．

(1)、若在 $△ A B C$ 内部取一点P，建造APC连廊供居民观赏，如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且 $∠ C P B = \frac{2 π}{3}$ ，求连廊 $A P + P C$ 的长；

(2)、若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，建造 $△ D E F$ 连廊供居民观赏，如图②，使得 $△ D E F$ 为正三角形，求 $△ D E F$ 连廊长的最小值．

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10. 2020年席卷全球的新冠肺炎给世界人民带来了巨大的灾难，面对新冠肺炎，早发现、早诊断、早隔离、早治疗是有效防控疾病蔓延的重要举措之一.某社区对 $55$ 位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，先到社区医务室进行口拭子核酸检测，检测结果成阳性者，再到医院做进一步检查，已知随机一人其口拭子核酸检测结果成阳性的概率为 $2$ %，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.

(1)、假设该疾病患病的概率是 $0.3$ %，且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为 $98$ %，设这 $55$ 位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；

(2)、根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将 $55$ 位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案：
方案一：将 $55$ 位居民分成 $11$ 组，每组 $5$ 人；
方案二：将 $55$ 位居民分成 $5$ 组，每组 $11$ 人；
试分析哪一个方案的工作量更少？
（参考数据： $0.9 8^{5} = 0.904$ ， $0.9 8^{11} = 0.801$ ）

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11. 图1是直角梯形ABCD， $A B / / C D$ ， ∠D＝90°，四边形ABCE是边长为2的菱形，并且∠BCE＝60°，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达 $C_{1}$ 的位置，且 $A C_{1} = \sqrt{6}$ ．

(1)、求证：平面 $B C_{1} E ⊥$ 平面ABED．

(2)、在棱 $D C_{1}$ 上是否存在点P，使得点P到平面 $A B C_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ？若存在，求出直线EP与平面 $A B C_{1}$ 所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，其前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n}^{2} - 2 S_{n} \cdot a_{n} + 1 = 0$ ．

(1)、求 $a_{n}$ 和 $S_{n}$ ；

(2)、若 $n \geq 3$ ，证明： $\frac{1}{S_{1}^{2}} + \frac{1}{S_{2}^{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{S_{n}^{2}} > 2 (1 - \frac{1}{2^{n}})$ ．

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新高考四大基础题（三角+数列+立体几何+概率）一天两题--专练4

一、作业1

二、作业2

三、作业3

四、作业4

五、作业5

六、作业6

	第一列	第二列	第三列
第一行	5	8	2
第二行	4	3	12
第三行	16	6	9