2013年全国高考理数真题试卷（大纲卷）

试卷更新日期：2016-09-28 类型：高考真卷

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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（　　）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2. ${(1 + \sqrt{3} i)}^{3}$ =（）

A、﹣8 B、8 C、﹣8i D、8i

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3. 已知向量 $\vec{m}$ =（λ+1，1）， $\vec{n}$ =（λ+2，2），若（ $\vec{m}$ + $\vec{n}$ ）⊥（ $\vec{m}$ ﹣ $\vec{n}$ ），则λ=（）

A、﹣4 B、﹣3 C、﹣2 D、﹣1

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4. 已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）

A、（﹣1，1） B、 $(- 1, - \frac{1}{2})$ C、（﹣1，0） D、 $(\frac{1}{2}, 1)$

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5. 函数f（x）=log₂（1+ $\frac{1}{x}$ ）（x＞0）的反函数f^﹣¹（x）=（）

A、 $\frac{1}{2^{x} - 1} (x ＞ 0)$ B、 $\frac{1}{2^{x} - 1} (x \neq 0)$ C、2^x﹣1（x∈R） D、2^x﹣1（x＞0）

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6. 已知数列{a_n}满足3a_n+1+a_n=0，a₂=﹣ $\frac{4}{3}$ ，则{a_n}的前10项和等于（）

A、﹣6（1﹣3^﹣¹⁰） B、 $\frac{1}{9} (1 - 3^{10})$ C、3（1﹣3^﹣¹⁰） D、3（1+3^﹣¹⁰）

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7. （1+x）³（1+y）⁴的展开式中x²y²的系数是（）

A、5 B、8 C、12 D、18

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8. 椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右顶点分别为A₁、A₂ ，点P在C上且直线PA₂斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA₁斜率的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}]$ B、 $[\frac{3}{8}, \frac{3}{4}]$ C、 $[\frac{1}{2}, 1]$ D、 $[\frac{3}{4}, 1]$

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9. 若函数f（x）=x²+ax+ $\frac{1}{x} 在 (\frac{1}{2} ， + \infty)$ 是增函数，则a的取值范围是（）

A、[﹣1，0] B、[﹣1，∞] C、[0，3] D、[3，+∞]

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10. 已知正四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，则CD与平面BDC₁所成角的正弦值等于（　　）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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11. 已知抛物线C：y²=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若 $\vec{M A} \cdot \vec{M B} = 0$ ，则k=（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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12. 已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中错误的是（）

A、y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称 B、y=f（x）的图象关于x= $\frac{π}{2}$ 对称 C、f（x）的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、f（x）既是奇函数，又是周期函数

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二、填空题

13. 已知α是第三象限角，sinα=﹣ $\frac{1}{3}$ ，则cotα= ．

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14. 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种．（用数字作答）

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15. 记不等式组 ${\begin{matrix} x \geq 0 \\ x + 3 y \geq 4 \\ 3 x + y \leq 4 \end{matrix}$ 所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是．

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16. 已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径， $O K = \frac{3}{2} ，且圆 O 与圆 k 所在的平面所成的角为 60^{0}$ ，则球O的表面积等于．

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三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 等差数列{a_n}的前n项和为S_n ．已知S₃=a₂² ，且S₁ ， S₂ ， S₄成等比数列，求{a_n}的通项式．

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18. 设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．

(1)、求B．

(2)、若sinAsinC= $\frac{\sqrt{3} - 1}{4}$ ，求C．

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19. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．

(1)、证明：PB⊥CD；

(2)、求二面角A﹣PD﹣C的大小．

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20. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．

(1)、求第4局甲当裁判的概率；

(2)、X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．

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21. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为 $\sqrt{6}$ ．

(1)、求a，b；

(2)、设过F₂的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF₁|=|BF₁|，证明：|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等比数列．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln (1 + x) - \frac{x (1 + λ x)}{1 + x}$ ．

(1)、若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；

(2)、设数列{a_n}的通项a_n=1+ $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} ，证明 a_{2 n} - a_{n} + \frac{1}{4 n} > \ln 2$ ．

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