吉林省长春市朝阳区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-12-06 类型：期中考试

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一、选择题（每小题3分，共24分）

1. 在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ B、 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{9}$

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2. 将一元二次方程 $x (x - 3) - (x - 1) = 4$ 化为一般形式，正确的是（）

A、 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ B、 $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ C、 $x^{2} - 4 x - 3 = 0$ D、 $x^{2} - 4 x - 5 = 0$

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3. 在下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（）

A、2，3，4，5 B、1，3，6，12 C、1.5，2，3.5，4 D、4，5，8，10

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4. 方程 $x^{2} - 6 = 0$ 的解是（）

A、 $x_{1} = x_{2} = \sqrt{6}$ B、 $x_{1} = \sqrt{6}$ ， $x_{2} = - \sqrt{6}$ C、 $x_{1} = x_{2} = 6$ D、 $x_{1} = 6$ ， $x_{2} = - 6$

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5. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 没有实数根，则m的值可能是（）

A、 $- 2$ B、0 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{7}{2}$

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6. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A O B$ 的顶点A的坐标为 $(- 2 ， 4)$ ．若以原点O为位似中心，相似比为 $\frac{1}{4}$ ，把 $△ A O B$ 缩小，则点A的对应点 $A^{'}$ 的坐标是（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， 1)$ B、 $(- \frac{1}{2} ， 1)$ 或 $(\frac{1}{2} ， - 1)$ C、 $(- 8 ， 16)$ D、 $(- 8 ， 16)$ 或 $(8 ， - 16)$

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7. 某制造厂七月份生产零件25万个，第三季度生产零件91万个．若该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x，则下面所列方程正确的是（）

A、 $25 (1 + x)^{2} = 91$ B、 $25 + 25 (1 + x)^{2} = 91$ C、 $25 + 25 (1 + x) + 25 (1 + 2 x) = 91$ D、 $25 + 25 (1 + x) + 25 (1 + x)^{2} = 91$

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8. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 10$ ，点B在直线l上．若矩形ABCD的周长为28，点A到直线l的距离AE的长为6，则点C到直线l的距离CF的长为（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、 $\frac{16}{5}$ C、 $\frac{24}{5}$ D、 $\frac{32}{5}$

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二、填空题（每小题3分，共18分）

9. 比较大小： $\sqrt{5}$ 2（填“>”、“=”或“<”）．

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10. 若 $\frac{a}{b} = \frac{2}{7}$ ，则 $\frac{a}{a + b} =$ ．

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11. 若两个相似多边形的面积之比是 $4 ： 9$ ，则这两个相似多边形的周长之比是．

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12. 若 $\sqrt{(a - 4)^{2}} = (\sqrt{a - 4})^{2}$ ，则a的取值范围是．

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13. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，阐释了光的直线传播原理，如图①所示．如图②所示的小孔成像实验中，若物距为 $10 c m$ ，像距为 $15 c m$ ，蜡烛火焰倒立的像的高度是 $9 c m$ ，则蜡烛火焰的高度是 $c m$ ．
图① 图②

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14. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，若将原空地一边减少了 $2 m$ ，另一边减少了 $3 m$ ，剩余一块面积为 $20 m^{2}$ 的矩形空地，则原正方形空地的边长为 $m$ ．

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三、解答题（本大题10小题，共78分）

15. 计算： $2 \sqrt{2} - \sqrt{5} - \sqrt{18} + 2 \sqrt{5}$ ．

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16. 解方程： $x^{2} + 5 x - 2 = 0$ ．

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17. 已知 $x = \sqrt{7} + \sqrt{3}$ ， $y = \sqrt{7} - \sqrt{3}$ ，求下列各式的值．

(1)、xy．

(2)、 $x^{2} + y^{2}$ ．

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18. 如图，一位数学家为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒 $O^{'} B^{'}$ ，比较木棒的影长 $A^{'} B^{'}$ 与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB．如果 $O^{'} B^{'} = 1$ 米， $A^{'} B^{'} = 2$ 米， $A B = 274$ 米，求金字塔的高度OB．

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19. 将4个全等的矩形纸片按照如图所示的方式进行拼接，分别得到一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH．若大正方形ABCD面积为 $245 c m^{2}$ ，且 $A P = 2 \sqrt{5} c m$ ，求小正方形EFGH的周长．

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20. 已知关于x的一元二次方程 $2 x^{2} + m x + n = 0$ 的两个根是1和 $- 4$ ，求m和n的值．

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21. 如图，图①、图②、图③均为 $5 \times 5$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点A、B、C、D、E、F、G、H、M、N均在格点上．按要求完成下列问题，在给定的网格中作图时只用无刻度的直尺，保留作图痕迹．
图① 图② 图③

(1)、在图①中，点P为AD与BC的交点，则 $\frac{A P}{P D}$ 的值为；

(2)、在图②中，在线段EF上确定一点Q，使 $E Q = 2$ ；

(3)、在图③中，在线段HN上确定一点K，连结GK、MK，使 $△ G K H ∽ △ M K N$ ．

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22. 【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
猜想
如图23.4.2，在 $△ A B C$ 中，点D、E分别是AB与AC的中点．根据画出的图形，可以猜想：
$D E ∥ B C$ ，且 $D E = \frac{1}{2} B C$ ．
对此，我们可以用演绎推理给出证明．

【定理证明】

(1)、请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．

(2)、如图②，在四边形ABCD中， $A B = C D$ ， $A B ⊥ A C$ ，点P、M、N分别是AC、AD、BC的中点，连结PM、PN、MN．若 $∠ A C D = 40 °$ ，则 $∠ P M N$ 的大小为；

(3)、如图③，在 $△ A B C$ 中，点D在AB上，且 $B D = A C$ ，点M、N分别是AD、BC的中点，连结NM并延长，交CA延长线于点E，则 $∠ B A C$ 与 $∠ E$ 的数量关系为．

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23. 杭州第19届亚运会于2023年9月23日举行．某商场销售亚运会文化衫，每件进价为50元，试销售期间发现，销售定价为55元时，平均每天可售出2100件；销售定价每上涨1元，销售量就减少30件．

(1)、当每件文化衫的售价为58元时，平均每天售出件文化衫，销售利润是元；

(2)、若每件文化衫的售价上涨x元（ $x > 0$ ）．
①平均每天售出 ▲ 件文化衫（用含x的代数式表示）；
②若每天的销售利润恰好为27000元，且获利不超过35%，求x的值．

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24. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $B C = 6$ ，动点P从点A出发，沿折线 $A B - B C$ 以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、Q同时停止运动，连结PQ，设点P的运动时间为t秒（ $t > 0$ ）．

(1)、①AB的长为；
②线段AQ的长为；（用含的代数式表示）

(2)、当点P与点B重合时，求t的值；

(3)、当点P在AB上运动时，求PQ与 $△ A B C$ 一边垂直时t的值；

(4)、当PQ将 $△ A B C$ 分成两部分图形的面积比为 $1 ： 3$ 时，直接写出t的值．

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