吉林省松原市前郭县农村期中联考名校调研2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-12-06 类型：期中考试

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一、选择题（每小题2分，共12分）

1. 抛物线 $y = - 9 (x - 7)^{2}$ 的顶点坐标是（）

A、 $(9 ， 0)$ B、 $(- 9 ， 7)$ C、 $(9 ， - 7)$ D、 $(7 ， 0)$

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2. 如图所示的交通标志中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 若 $x = a$ 是关于 $x$ 的一元一次方程 $x^{2} + 3 x - 5 = 0$ 的一个根，则 $- a^{2} - 3 a$ 的值为（）

A、0 B、3 C、 $- 5$ D、5

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4. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象如图所示，对称轴为 $x = - 1$ ，图象与 $x$ 轴相交于点 $(1 ， 0)$ ，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根为（）

A、 $x_{1} = 1 ， x_{2} = - 3$ B、 $x_{1} = - 1 ， x_{2} = 3$ C、 $x_{1} = 1 ， x_{2} = - \frac{1}{3}$ D、 $x_{1} = - 1 ， x_{2} = \frac{1}{3}$

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5. 某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可列方程（）

A、x+（1+x）=36 B、1+x+x（1+x）=36 C、2（1+x）=36 D、1+x+x²=36

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6. 为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度 $y (m)$ 与水平距离 $x (m)$ 之间近似满足函数关系式 $y = a x^{2} + \frac{24}{5} x$ ，则水流喷出的最大高度为（　　）

A、 $\frac{24}{5} m$ B、 $5 m$ C、 $\frac{11}{2} m$ D、 $6 m$

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二、填空题（每小题3分，共24分）

7. 如图所示的图案绕中心旋转n°后能与原来的图案完全重合，则n的最小值为

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8. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $m x^{2} + 2 x + m^{2} - 1 = 0$ 的常数项为0，则 $m =$ ．

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9. 若二次函数 $y = (2 a - 6) x^{2} + 4$ 的图象开口向下，则 $a$ 的取值范围是．

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10. 如图， $△ A O B$ 与 $△ C O D$ 关于点 $O$ 成中心对称，已知 $∠ B A O = 90 ° ， A B = 4 ， A O = 3$ ，则 $A D$ 的长为．

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11. 已知抛物线 $y = - x^{2} - 6 x + m$ 与 $x$ 轴没有交点，则 $m$ 的取值范围是．

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12. 一个三角形的两边长分别为2和3，第三边的长是方程 $x^{2} - 10 x + 21 = 0$ 的根，则该三角形的第三边的长为．

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13. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD=50°，则∠EFC=度．

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14. 如图①，抛物线的顶点为 $M$ ，平行于 $x$ 轴的直线与该抛物线交于点 $A 、 B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），根据对称性知 $△ A M B$ 恒为等腰三角形，我们规定：当 $△ A M B$ 为直角三角形时，就称 $△ A M B$ 为该抛物线的“完美三角形”．如图②，抛物线 $y = x^{2}$ 的“完美三角形”的斜边 $A B$ 的长为．
① ②

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三、解答题（每小题5分，共20分）

15. 解方程： $3 x (x - 1) = 2 x - 2$

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16. 已知抛物线y= $\frac{1}{2}$ （x+h）²+k的顶点坐标为（2，8），求抛物线与y轴的交点坐标．

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17. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， ∠ B A C = 30 ° ， B C = 2$ ，以点 $B$ 为旋转中心，把 $R t △ A B C$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到 $△ A^{'} B C^{'}$ ，连接 $A A^{'}$ ，求 $A A^{'}$ 的长．

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18. 已知二次函数 $y = - x^{2} + 8 x - 7$ ．

(1)、直接写出当 $x$ 为何值时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大；

(2)、直接写出当 $x$ 为何值时， $y < 0$ ．

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四、解答题（每小题7分，共28分）

19. 如图是由边长为1的小正方形构成的 $4 \times 4$ 的正方形网格，线段 $A B 、 E F$ 的端点均在格点上，请按要求画图．
图① 图②

(1)、在图①中，以 $A B$ 为边画一个面积是9的四边形，使它的另外两个顶点在格点上，且该四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；

(2)、在图②中，以 $E F$ 为对角线画一个四边形，使它的另外两个顶点在格点上，且该四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．

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20. 如图，抛物线 $y = a {(x - 2)}^{2} - 2 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于原点 $O$ 与点 $A$ ，点 $B$ 为顶点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、已知 $Q (- 1 ， - 2)$ ，将该抛物线向下平移 $k$ 个单位长度，若平移后的拋物线与线段 $B Q$ 只有一个公共点，直接写出 $k$ 的取值范围．

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21. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点 $C$ 的坐标为 $(- 4 ， 1)$ ．

(1)、画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，使 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A B C$ 关于原点 $O$ 对称，并写出点 $C$ 的对应点 $C_{1}$ 的坐标；

(2)、以 $O$ 为旋转中心，将 $△ A B C$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 并写出点 $C$ 的对应点 $C_{2}$ 的坐标．

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22. 如图，用40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，墙长15m，垂直于墙的边长为xm，围成的矩形场地的面积为ym² ．

(1)、求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)、求这个矩形场地面积的最大值．

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五、解答题（每小题8分，共16分）

23. 如图，已知抛物线 $y = - x^{2} + 6 x$ ，点 $P$ 是第一象限内抛物线上的一个动点，作 $P A ⊥ x$ 轴于点 $A$ ，点 $B$ 是第一象限内抛物线上的另一个点（点 $B$ 在 $A P$ 的右侧），且 $B P = B A$ ，作 $B C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ．

(1)、若点 $P$ 的横坐标为2，求点 $B$ 的坐标；

(2)、若点 $B$ 关于 $A P$ 的对称点恰好落在 $y$ 轴上时，求 $A C$ 的长．

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24. 阅读下面材料，并解决问题：

(1)、如图①，在等边 $△ A B C$ 内有一点 $P$ ，若点 $P$ 到顶点 $A 、 B 、 C$ 的距离分别为 $3 、 4 、 5$ ，求 $∠ A P B$ 的度数；为了解决本题，我们可以将 $△ A B P$ 绕顶点 $A$ 旋转到 $△ A C P^{'}$ 处，此时 $△ A C P^{'} ≌ △ A B P$ ，这样就可以利用旋转变换，将三条线段 $P A 、 P B 、 P C$ 转化到一个三角形中，从而求出 $∠ A P B$ 的度数，请你按照这个思路写出求解过程；
图①

(2)、能力提升
如图②，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = 1 ， ∠ A B C = 30 °$ ，点 $O$ 为 $R t △ A B C$ 内一点，连接 $A O 、 B O 、 C O$ ，且 $∠ A O C = ∠ C O B = ∠ B O A = 120 °$ ，直接写出 $O A + O B + O C$ 的值．
图②

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六、解答题（每小题10分，共20分）

25. 如图①，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = B C = 6 c m$ ，动点 $P$ 从点 $C$ 出发，以 $1 c m / s$ 的速度沿 $C A$ 匀速运动，同时动点 $Q$ 从点 $A$ 出发，以 $\sqrt{2} c m / s$ 的速度沿 $A B$ 匀速运动，当点 $P$ 到达点 $A$ 时，点 $P 、 Q$ 同时停止运动，设运动时间为 $t (s)$ ．
图① 图② 备用图

(1)、当 $t = 3$ 时，线段 $P Q$ 的长为 $c m$ ；

(2)、是否存在某一时刻，使点 $B$ 在线段 $P Q$ 的垂直平分线上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；

(3)、如图②，以 $P C$ 为边，向 $P C$ 右侧作正方形 $C P M N$ ，设正方形 $C P M N$ 与 $R t △ A B C$ 重叠部分的面积为 $S$ ．
①求 $S$ 关于的函数关系式；
②当 $S$ 的值为14时，直接写出t的值．

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26. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = x + b$ 与 $x$ 轴交于点 $A (4 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，过 $A 、 B$ 两点的抛物线交 $x$ 轴于另一点 $C$ ，且 $O A = 2 O C$ ，点 $F$ 是直线 $A B$ 下方抛物线上的一个动点，连接 $F A 、 F B$ ．
备用图

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当点 $F$ 与抛物线的顶点重合时， $△ A B F$ 的面积为；

(3)、求四边形 $F A O B$ 面积的最大值及此时点 $F$ 的坐标；

(4)、在（3）的条件下，点 $Q$ 为平面内 $y$ 轴右侧的一点，是否存在点 $Q$ 及平面内另一点 $M$ ，使得以 $A 、 F 、 Q 、 M$ 为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点 $Q$ 的坐标；若不存在，说明理由．

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