新高考四大基础题（三角+数列+立体几何+概率）一天两题--专练2-在线组卷题库

1. 设 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，已知 $A = \frac{π}{6}$ .

(1)、若 $a = 5 b s i n B$ ，求 $c o s B$ ；

(2)、在① $b^{2} + 4 c^{2} = 16$ ， ② $a = 2 c o s A$ 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中.
问题：若_________，求 $△ A B C$ 面积的最大值.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.

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2. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是正方形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $E$ 为 $P B$ 的中点.

(1)、求证： $P D //$ 平面 $A E C$ ；

(2)、若 $A B = 2 ， P D = \sqrt{2} A B$ ，求三棱锥 $E - P A D$ 的体积.

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3. 已知数列 ${a_{n} - 2^{n}}$ 的前n项和为 $n^{2} - 2^{n + 1} + 2$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} \cdot 2^{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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4. 某夜市街上有“十元套圈”小游戏，游戏规则为每个顾客支付十元便可获得3个套圈，顾客使用套圈所套得的奖品，即归顾客所有．奖品分别摆放在1，2，3三个相互间隔的区域中，且1，2，3三个区域的奖品价值分别为5元，15元，20元，每个套圈只能使用一次，每次至多能套中一个．小张付十元参与这个游戏，假设他每次在1，2，3三个区域套中奖品的概率分别为0.6，0.2，0.1，且每次的结果互不影响．

(1)、求小张分别在1，2，3三个区域各套一次后，所获奖品不超过1件的概率．

(2)、若分别在1，2，3三个区域各套一次为方案甲，所获奖品的总价值为X元；在2区域连套三次为方案乙，所获奖品的总价值为Y元．以三次所套奖品总价值的数学期望为依据，小张应该选择方案甲还是方案乙？

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5. 如图， $A B ⊥$ 平面 $A D E$ ， $A D ⊥$ 平面 $A B E$ ， $C F ∥ A E$ ， $C F < A E$ ，且 $E ， F$ 均在平面 $A B C D$ 的同侧．

(1)、证明：平面 $C D F ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(2)、若四边形 $A B C D$ 为梯形， $B C ∥ A D ， A D = 3 ， A B = B C = A E = 2$ ，且异面直线 $B E$ 与 $D F$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，求四棱锥 $F - A B C D$ 的体积．

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6. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $a = 2$ ．

(1)、若 $\frac{s i n A}{s i n B + s i n C} = 1 - \frac{a - b}{a - c}$ ，求角 $B$ ；

(2)、若 $c = 2 b$ ，当角 $B$ 最大时，求 $△ A B C$ 的面积．

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} ， a_{1} = 2 ， S_{n} = a_{n + 1} - 2 .$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = l o g_{2} a_{n} .$ ① $c_{n} = b_{n} \cdot a_{n}$ ；② $c_{n} = \frac{1}{4 b_{n}^{2} - 1}$ ；③ $c_{n} = (- 1)^{n} (b_{n})^{2} ，$ 从上面三个条件中任选一个，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} .$ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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8. 某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60岁以上老人进行了随机走访调查.得到的数据如表：

男性
女性
总计
参与该项老年运动
16
$p$
$x$
不参与该项老年运动
44
$q$
$y$
总计
60
40
100
从统计数据中分析得参与该项老年运动的被调查者中，女性的概率是 $\frac{1}{3}$ .
参考公式及数据： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$P (K^{2} > k_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、求 $2 \times 2$ 列联表中 $p$ ， $q$ ， $x$ ， $y$ 的值；

(2)、是否有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关？

(3)、若将参与该项老年运动的老人称为“健康达人”，现从参与调查的“健康达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行健康状况跟踪调查，那么被跟踪调查的2人中都是男性的概率是多少？

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9. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $A = \frac{2 π}{3}$ ， $b = 10$ ， $c = 6$ ， $△ A B C$ 的内切圆 $I$ 的面积为 $S$ .

(1)、求 $S$ 的值；

(2)、若点 $D$ 在 $A C$ 上，且 $B ， I ， D$ 三点共线，求 $\vec{B D} \cdot \vec{B C}$ 的值.

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10. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 是菱形， $∠ A_{1} A C = 60 °$ ， $A A_{1} = 2$ ， $A C ⊥ A_{1} B$ .

(1)、求证： $B A = B C$ ；

(2)、已知 $A B = \sqrt{2}$ ， $A_{1} B = 2$ ，求直线 $A_{1} B$ 与平面 $A_{1} B_{1} C$ 所成角的正弦值.

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11. 某同学在复习数列时，发现曾经做过的一道题目因纸张被破坏，导致一个条件看不清（即下题中“已知”后面的内容看不清），但在（1）的后面保留了一个“答案： $S_{1} ， S_{3} ， S_{2}$ 成等差数列”的记录，具体如下：
记等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知___________________．

①判断 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ 的关系；（答案： $S_{1} ， S_{3} ， S_{2}$ 成等差数列）

②若 $a_{1} - a_{3} = 3$ ，记 $b_{n} = \frac{n}{12} | a_{n} |$ ，求证： $b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} < \frac{4}{3}$ ．

(1)、请在本题条件的“已知”后面补充等比数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1}$ 的值或公比q的值（只补充其中一个值），并说明你的理由；

(2)、利用（1）补充的条件，完成②的证明过程．

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12. 云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.从中国信息通信研究院发布的《云计算白皮书（2022年）》可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下：
年份
2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
年份代码x
1
2
3
4
5
云计算市场规模y/亿元
692
962
1334
2091
3229
经计算得： $\sum_{i = 1} l n y_{i}$ =36.33， $\sum_{i = 1} (x_{i} l n y_{i})$ =112.85.

(1)、根据以上数据，建立y关于x的回归方程 $\hat{y} = e^{^{\hat{b} x + \hat{a}}}$ （ $e$ 为自然对数的底数）.

(2)、云计算为企业降低生产成本､提升产品质量提供了强大助推力.某企业未引入云计算前，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差 $ε ~ N (0 ， \frac{4}{m})$ ，其中m为单件产品的成本（单位：元），且 $P (- 1 < ε < 1)$ =0.6827；引入云计算后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差 $ε ~ N (0 ， \frac{1}{m})$ .若保持单件产品的成本不变，则 $P (- 1 < ε < 1)$ 将会变成多少？若保持产品质量不变（即误差的概率分布不变），则单件产品的成本将会下降多少？
附：对于一组数据 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， \dots ， (x_{n} ， y_{n}) ，$ 其回归直线 $\hat{y} = \hat{β} x + \hat{α}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{β}$ = $\frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} {x_{i}}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{y} - \hat{β} \bar{x}$ .
若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (| X - μ | < σ) = 0.6827$ ， $P (X - μ | < 2 σ) = 0.9545$ ， $P (| X - μ | < 3 σ) = 0.9973 .$

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新高考四大基础题（三角+数列+立体几何+概率）一天两题--专练2

一、作业1

二、作业2

三、作业3

四、作业4

五、作业5

六、作业6

	男性	女性	总计
参与该项老年运动	16	$p$	$x$
不参与该项老年运动	44	$q$	$y$
总计	60	40	100

$P (K^{2} > k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

年份	2017年	2018年	2019年	2020年	2021年
年份代码x	1	2	3	4	5
云计算市场规模y/亿元	692	962	1334	2091	3229