【北师大版·数学】2024年中考一轮复习之轴对称的应用-最短距离问题

试卷更新日期：2023-12-05 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 如图， $∠ A O B = 30 °$ ，点M、N分别在边 $O A 、 O B$ 上，且 $O M = 3 ， O N = 5$ ，点P、Q分别在边 $O B 、 O A$ 上，则 $M P + P Q + Q N$ 的最小值是（）

A、 $\sqrt{34}$ B、 $\sqrt{35}$ C、 $\sqrt{34} - 2$ D、 $\sqrt{35} - 2$

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 6$ ， $∠ A C B = 60 °$ ，以点C为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AC，BC于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于 $\frac{1}{2} E F$ 的长为半径作弧，两弧交于点D；作射线CD．若点M为边BC上一动点，点N为射线CD上一动点，则 $B N + M N$ 的最小值为（）

A、3 B、 $3 \sqrt{2}$ C、4 D、 $3 \sqrt{3}$

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3. 如图，∠MON=40°，以O为圆心，4为半径作弧交OM于点A，交ON于点B，分别以点A，B为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ 的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点C，画射线OC交 $\overset{⌢}{A B}$ 于点D，E为OA上一动点，连接BE，DE，则阴影部分周长的最小值为（）

A、 $4 + \frac{4}{9} π$ B、 $3 + \frac{4}{9} π$ C、 $\frac{4}{7} + \frac{4}{9} π$ D、 $\frac{9}{2} + \frac{5}{9} π$

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4. 如图，在△ABC中，AB＝AC．在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP＝AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于 $\frac{1}{2}$ PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．已知BC＝5，AD=6．若点M、N分别是线段AD和线段AC上的动点，则CM+MN的最小值为（）

A、4 B、5 C、 $\frac{60}{13}$ D、2 $\sqrt{6}$

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5. 已知在 $R t △ A C B$ 中， $∠ C = 90 ° ， ∠ A B C = 75 °$ ， $A B = 5$ ．点 $E$ 为边 $A C$ 上的动点，点 $F$ 为边 $A B$ 上的动点，则线段 $F E + E B$ 的最小值是（）

A、 $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{3}$

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6. 如图，直线 $l$ ， $m$ 相交于点 $O$ ． $P$ 为这两直线外一点，且 $O P = 2.8$ ．若点 $P$ 关于直线 $l$ ， $m$ 的对称点分别是点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ，则 $P_{1}$ ， $P_{2}$ 之间的距离可能是（）

A、0 B、5 C、6 D、7

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7. 如图，在扇形 $B O C$ 中， $∠ B O C = 60 °$ ，点 $D$ 是 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，点 $E$ 、 $F$ 分别为半径 $O C$ ， $O B$ 上的动点．若 $O B = 2$ ，则 $△ D E F$ 周长的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $4 \sqrt{3}$

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8. 如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AC于点D，点P，Q分别是BD，AB上的动点，则AP＋PQ的最小值为（）

A、6 B、6 $\sqrt{3}$ C、3 D、3 $\sqrt{3}$

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9. 在平面直角坐标系中，长为2的线段 $C D$ （点D在点C右侧）在x轴上移动 $A (0 ， 2)$ ， $B (0 ， 4)$ ，连接 $A C$ 、 $B D$ ，则 $A C + B D$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{10}$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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10. 如图，半圆O的半径长为5，点P为直径AB上的一个动点，已知CP上AB，交半圆O于点C，若D为半圆O上的一动点，且CD=4，M是CD的中点，则PM的值有（）

A、最小值5 B、最小值4 C、最大值5 D、最大值4

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二、填空题

11. 如图，∠AOB=30°，点M，N分别在边0A，OB上，且OM=1，ON=3，点P，Q分别在边OB，OA上，则MP+PQ+QN的最小值是

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12. 如图，点 $P$ 是 $∠ A O B$ 内任意一点， $O P = 3 c m$ ，点 $M$ 和点 $N$ 分别是射线 $O A$ 和射线 $O B$ 上的动点， $∠ A O B = 30 °$ ，则 $△ P M N$ 周长的最小值是．

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13. 如图，在扇形BOC中， $∠ B O C = 60 °$ ， OD平分 $∠ B O C$ 交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点，若 $O B = 2$ ，则 $C E + D E$ 长的最小值为．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， $A (- 3 ， 0)$ ，点B在y轴上运动，以 $A B$ 为边作等腰 $R t △ A B C$ ， $∠ C A B = 90 °$ （点A，B，C按照顺时针排列），当点B在y轴上运动时，点C也随之运动．在点C的运动过程中， $O C + A C$ 的最小值为．

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15. 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为．

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三、解答题

16. 如图1，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C、D均在格点上．点E为直线CD上的动点，连接BE ，作AF⊥BE于F ．点P为BC边上的动点，连接DP和PF ．

（Ⅰ）当点E为CD边的中点时，求△ABF的面积为；

（Ⅱ）当DP＋PF最短时，请在图2所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P ，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．

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17. 综合题。

(1)、
如图，在图1所给方格纸中，每个小正方形边长都是1，标号为①②③的三个三角形均为格点三角形（顶点在方格顶点处），请按要求将图2中的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为①②③的三个三角形分别对应全等．（分割线画成实线．）

(2)、
如图3，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
①在图中画出与△ABC关于直线L成轴对称的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ；
②请直线L上找到一点P，使得PC + PB的距离之和最小．

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四、综合题

18. 如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别发铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短.

(1)、如图②，作出点A关于l的对称点 $A^{'}$ ，线 $A^{'} B$ 与直线 $l$ 的交点C的位置即为所求，即在点C处建气站，所得路线ACB是最短的，为了让明点C的位置即为所求，不妨在l直线上另外任取一点 $C^{'}$ ，连接 $A C^{'}$ ， $B C^{'}$ ，证明 $A C + C B < A C^{'} + C^{'} B$ ，请完成这个证明.

(2)、如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别始出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由），
①生市保护区是正方形区城，位置如图③所示

②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示.

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19.
如图，是由每个边长都是1的小正方形构成的网格，点O，A，B，M均为格点，P为线段OM上的一个动点．

(1)、点B到OM的距离等于；

(2)、当点P在线段OM上运动，且使PA²+PB²取得最小值时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的网格中画出点P的位置，并简要说明你是怎么画的．

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