【北师大版·数学】2024年中考一轮复习之菱形的性质

试卷更新日期：2023-12-05 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，点E在 $A C$ 的延长线上， $∠ A C D = ∠ A B E$ ， $A C = 4$ ， $C E = 5$ ，求 $C D$ 的长（）

A、5 B、6 C、 $5 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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2. 如图，某学校门口的伸缩门在伸缩的过程中，四边形 $A B C D$ 始终是菱形，则下列结论不一定正确的是（）

A、 $∠ A = ∠ C$ B、 $∠ A = ∠ B$ C、AB=AD D、AB=CD

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3. 如图，四边形 $A B C D$ 为菱形， $A B = 4$ ， $∠ A = 60 °$ ，则 $B D$ 的长为（）

A、2 B、4 C、 $\frac{4}{3} \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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4. 如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（）

A、16 B、6 $\sqrt{7}$ C、12 $\sqrt{7}$ D、30

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5. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AO=2，OB= $\sqrt{5}$ ，则菱形ABCD的面积是（）

A、 $4 \sqrt{5}$ B、 $8 \sqrt{5}$ C、4 D、9

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6. 如图，四边形 $A B C D$ 是菱形，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $D$ 作 $D H ⊥ A B$ 于点 $H$ ，连接 $O H$ ， $∠ C A D = 20 °$ ，则 $∠ D H O$ 的度数是（）

A、 $20 °$ B、 $25 °$ C、 $30 °$ D、 $35 °$

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7. 如图，菱形 $A B C D$ 的两条对角线相交于点 $O$ ，若 $∠ A D C = 120 °$ ， $D O = 2$ ，菱形的周长为（）

A、8 B、16 C、12 D、 $12 \sqrt{3}$

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8. 如图，在边长为 $2 \sqrt{3}$ 的菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ，点E，F分别为折线 $A B - B C ， A D - D C$ 上的点（不含菱形顶点）， $A E = A F$ ， $B F$ 、 $D E$ 相交于点G，作射线 $A G$ ．甲、乙二人分别对这个问题进行了研究：
甲：射线 $A G$ 不一定经过点C；

乙：当 $D E$ 垂直于菱形的边时，线段 $A G$ 的长可能为3．

下列判断正确的为（）

A、甲、乙都对 B、甲、乙都错 C、甲对，乙错 D、甲错，乙对

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9. 若菱形两条对角线的长度是方程x²﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、4 C、25 D、5

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10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $A B C D$ 的对称中心恰好是原点O ，已知点B坐标是 $(- 2 ， \frac{3}{2})$ ，双曲线 $y = \frac{6}{x}$ 经过点A ，则菱形 $A B C D$ 的面积是（）

A、 $9 \sqrt{2}$ B、18 C、 $\frac{25 \sqrt{2}}{2}$ D、25

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二、填空题

11. 已知菱形 $A B C D$ 的两条对角线长分别为 $A C = 5$ 和 $B D = 8$ ，那么菱形 $A B C D$ 的面积为．

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12. 如图，四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = 70 °$ ，延长 $B C$ 到 $E$ ，在 $∠ D C E$ 内作射线 $C M$ ，使得 $∠ E C M = 15 °$ ，过点 $D$ 作 $D F ⊥ C M$ ，垂足为 $F$ ，若 $D F = \sqrt{5}$ ，则对角线 $B D$ 的长为.（结果保留根号）

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13. 如图，已知第 $1$ 个菱形 $A B_{1} B_{2} C_{1}$ 中， $∠ B_{1} A C_{1} = 60 °$ ， $A B_{1} = 1$ ，以对角线 $A B_{2}$ 为边作第 $2$ 个菱形 $A B_{2} B_{3} C_{2}$ ，使点 $C_{1}$ 在菱形 $A B_{2} B_{3} C_{2}$ 的内部，且 $∠ B_{2} A C_{2} = 60 °$ ，再以对角线 $A B_{3}$ 为边作第 $3$ 个菱形 $A B_{3} B_{4} C_{3}$ ，使点 $C_{2}$ 在菱形 $A B_{3} B_{4} C_{3}$ 的内部，且 $∠ B_{3} A C_{3} = 60 °$ ，顺次这样作下去 $\dots$ ，则第 $2023$ 个菱形 $A B_{2023} B_{2024} C_{2023}$ 的面积为．

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14. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点O， $A B = 4$ ， $B D ： A D = 3 ： 2$ ，则 $A C =$ ．

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15. 在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B = 60 °$ ， $A B = 4$ ，点 $E$ 在边 $A B$ 上，连接 $C E ， D E$ ，若 $C E = \sqrt{13}$ ，则线段 $D E$ 的长为．

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三、作图题

16. 已知正六边形 $A B C D E F$ ，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）．

(1)、在图1中作出以 $B E$ 为对角线的一个菱形 $B M E N$ ；

(2)、在图2中作出以 $B E$ 为边的一个菱形 $B E P Q$ ．

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四、解答题

17. 如图，四边形 $A B C D$ 是菱形，点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $A B$ 、 $A D$ 的延长线上，且 $B E = D F$ .连接 $C E$ 、 $C F$ .
求证： $C E = C F$ .

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18. 在如图菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，E、F分别是AB、BC的中点.求证：OE＝OF.

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19. 已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=DF，连结AE，AF.求证：AE=AF.

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20. 如图，菱形ABCD中，E是对角线BD上的一点，连接EA、EC，求证：∠BAE＝∠BCE.

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五、综合题

21. 已知线段a＝4cm．

(1)、用尺规作图作一个边长为4cm的菱形ABCD，使∠A＝60°（保留作图痕迹），

(2)、求这个菱形的面积．

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22. 如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形．

(1)、根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；

(2)、若菱形ABEF的周长为16，AE=4 $\sqrt{3}$ ，求∠C的大小．

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23.
邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下的一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD为1阶准菱形．

(1)、猜想与计算：
邻边长分别为3和5的平行四边形是阶准菱形；已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=8b+r，b=5r，请写出▱ABCD是阶准菱形．

(2)、操作与推理：
小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把▱ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F处，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形．

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24. 如图，在菱形ABCD中，CE垂直对角线AC于点C，AB的延长线交CE于点E．

(1)、求证：CD=BE；

(2)、如果∠E=60°，CE=m，请写出求菱形ABCD面积的思路．

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25. 如图，AE为菱形ABCD的高，请仅用无刻度的直尺按要求画图．（不写画法，保留作图痕迹）．

(1)、在图1中，过点C画出AB边上的高；

(2)、在图2中，过点C画出AD边上的高．

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