【北师大版·数学】2024年中考一轮复习之二次函数的最值

试卷更新日期：2023-12-05 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 关于二次函数 $y = 2 {(x - 4)}^{2} + 6$ 的最大值或最小值，下列说法正确的是（）

A、有最大值4 B、有最小值4 C、有最大值6 D、有最小值6

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2. 抛物线y=x²+2x﹣3的最小值是（）

A、3 B、﹣3 C、4 D、﹣4

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3. 二次函数y＝﹣（x﹣3）²+1的最大值为（）

A、1 B、﹣1 C、3 D、﹣3

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4. 定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a．如：min={1，﹣2}=﹣2，min{﹣1，2}=﹣1．则min{x²﹣1，﹣2}的值是（）

A、x²﹣1 B、2 C、﹣1 D、﹣2

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5. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的开口向下，顶点坐标为（2，－3），那么该二次函数有（）

A、最小值－3 B、最大值－3 C、最小值2 D、最大值2

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6. 已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 1$ ，则当 $0 \leq x \leq 3$ 时，函数的最大值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、2

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7. 已知二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 2$ ，当 $- 1 \leq x \leq 1$ 时，y的最小值为（）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、 $- 1$ D、7

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8. 在平面直角坐标系中，设二次函数 $y_{1} = x^{2} + 2 b x + a$ ， $y_{2} = a x^{2} + 2 b x + 1$ （a，b；是实数， $a \neq 0$ ）的最小值分别为m和n，若 $m + n = 0$ ，则 $m n$ 的值为（）

A、0 B、 $- 1$ C、 $- 2$ D、 $- 4$

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9. 已知抛物线 $y = {(x - b)}^{2} + c$ 经过 $A (1 - n ， y_{1})$ ， $B (n ， y_{2})$ ， $C (n + 3 ， y_{3})$ 三点， $y_{1} = y_{3}$ ．当 $1 - n \leq x \leq n$ 时，二次函数的最大值与最小值的差为16，则 $n$ 的值为（）

A、-5 B、3 C、 $\frac{19}{6}$ D、4

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10. 已知二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 2$ ，关于该函数在 $a \leq x \leq 3$ 的取值范围内有最大值-1，a可能为（）

A、-2 B、-1 C、0.5 D、1.5

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二、填空题

11. 如图，在直线 $l$ ： $y = x - 4$ 上方的双曲线 $y = \frac{2}{x} (x > 0)$ 上有一个动点 $P$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，交直线 $l$ 于点 $Q$ ，连接 $O P$ ， $O Q$ ，则 $△ P O Q$ 面积的最大值是．

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12. 我校办公楼前的花园是一道美丽的风景，现计划在花园里再加上一喷水装置，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 $y = - x^{2} + 5 x$ （单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是米．

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13. 公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离 $s (m)$ 与时间 $t (s)$ 的函数关系式为 $s = 16 t - 4 t^{2}$ ，当遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车要滑行 $m$ 才能停下．

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14. 已知二次函数 $y = a {(x - 2)}^{2} + a (a < 0)$ ，当 $- 1 \leq x \leq 4$ 时， $y$ 的最小值为 $- 10$ ，则 $a$ 的值为.

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15. 已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + c$ （ $a$ 、 $c$ 为常数， $a \neq 0$ ）的最大值为2，写出一组符合条件的 $a$ 和 $c$ 的值：．

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三、解答题

16. 当k分别取﹣1，1，2时，函数y=（k﹣1）x²﹣4x+5﹣k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．

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17. 某架飞机着陆后滑行的距离

y (

单位：

m)

与滑行时间

x (

单位：

s)

近似满足函数关系

y = a x^{2} + b x (a \neq 0)

，由电子监测获得滑行时间

x

与滑行距离

y

的几组数据如表：

滑行时间 $x / s$	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$
滑行距离 $y / m$	$0$	$114$	$216$	$306$	$384$	$450$

(1)、根据上述数据，求出满足的函数关系

y = a x^{2} + b x (a \neq 0)

；

(2)、飞机着陆后滑行多远才能停下来？此时滑行的时间是多少？

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18. 对于“已知 $x + y = 1$ ，求 $x y$ 的最大值”这个问题，小明是这样求解的：
∵ $x + y = 1$ ， ∴ $y = 1 - x$ ， ∴ $x y = x (1 - x) = x - x^{2} = - {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$
∴ $x y \leq \frac{1}{4}$ ，所以 $x y$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$ .
请你按照这种方法计算：当 $2 n + m = 4 (m > 0 ， n > 0)$ 时， $\frac{2}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值.

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19. 某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件．

(1)、若想要这种童装销售利润每天达到1200元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多少元？

(2)、当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？

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20. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x$ （a≠0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C ， D在抛物线上．设A（t ， 0），当t=2时，AD=4．

(1)、求抛物线的函数表达式．

(2)、当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？

(3)、保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ， H ，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

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四、综合题

21. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 $y = x^{2} - 2 a x + 3 a$ ，顶点坐标为 $(x_{0} ， y_{0}) .$

(1)、若函数图象关于直线 $x = 1$ 对称，求函数的表达式；

(2)、求 $y_{0}$ 的最大值；

(3)、是否存在实数 $a$ ，使得当 $1 \leq x \leq 4$ 时，二次函数的最大值为最小值的 $3$ 倍，若存在，求出 $a$ ；若不存在，请说明理由．

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22. 在二次函数 $y = x^{2} - 2 t x + 3 (t > 0)$ 中，

(1)、若它的图象过点 $(2 ， 1)$ ，则t的值为多少？

(2)、当 $0 \leq x \leq 3$ 时，y的最小值为 $- 2$ ，求出t的值：

(3)、如果 $A (m - 2 ， a) ， B (4 ， b) ， C (m ， a)$ 都在这个二次函数的图象上，且 $a < b < 3$ ，求m的取值范围。

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23. 傣族泼水节是流行于云南省傣族人民聚居地的传统节日，是国家级非物质文化遗产之一，又名“浴佛节”．泼水节临近，某超市销售某品牌塑料脸盆，进价为每只6元．在销售过程中发现，每天销售量 $y$ （只）与每个售价 $x$ （元）之间满足一次函数关系（其中 $6 \leq x \leq 12$ ，且 $x$ 为整数），当每只塑料脸盆的售价是8元时，每天销售量为100只；当每只塑料脸盆的售价是10元时，每天销售量为80只．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、设超市销售该品牌塑料脸盆每天销售利润为 $w$ 元，当每只塑料脸盆的售价定为多少元时，超市销售该品牌塑料脸盆每天销售利润最大，最大利润是多少元？

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24. 宝珠梨盛产于昆明市呈贡区，是当地的特产水果，具有皮薄，果肉雪白，脆嫩，汁多，味浓甜，微香等特点．某果农经销某品牌的宝珠梨，成本为15元/千克．物价部门规定每千克梨的销售利润不得高于进价的 $60 %$ ．经市场调查发现：每天销售量y（单位：千克）与销售单价x（单位：元/千克）满足一次函数关系，部分图象如图所示：

(1)、求y与x的函数解析式（解析式也称表达式）．

(2)、求这一天销售这种宝珠梨获得的最大利润W．

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25. 在锐角△ABC中，边BC长为18，高AD长为12

(1)、如图，矩形EFCH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K ，求 $\frac{E F}{A K}$ 的值；

(2)、设EH＝x ，矩形EFGH的面积为S ，求S与x的函数关系式，并求S的最大值．

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