【北师大版·数学】2024年中考一轮复习之垂径定理的应用

试卷更新日期：2023-12-05 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 如图所示为一名同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米， $A B = 16$ 厘米.若从目前太阳所处位置到太阳完全升出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）.

A、1.0厘米/分 B、0.8厘米/分 C、12厘米/分 D、1.4厘米/分

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2. 如图所示，已知在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，则这条圆弧所在圆的圆心是（）.

A、点P B、点Q C、点R D、点M

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3. 如图，排水管截面的半径为5分米，水面宽 $A B = 8$ 分米， $O C ⊥ A B$ ，则水的最大深度CD为（）

A、 $4 d m$ B、 $3 d m$ C、 $2 d m$ D、 $1 d m$

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4. 一条水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC的的长是（）

A、4 B、5 C、6 D、8

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5. 下列命题：（1）垂直于弦的直线平分弦；（2）平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦的直线必过圆心；（4）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。其中正确的命题有（ )

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作 $《$ 九章算术 $》$ 中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为： $C D$ 为 $⊙ O$ 的直径，弦 $A B ⊥ C D$ 于 $E$ ， $C E = 1$ 寸， $A B = 10$ 寸，则直径 $C D$ 的长为（）

A、 $12.5$ 寸 B、 $13$ 寸 C、 $25$ 寸 D、 $26$ 寸

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7. 如图，点 $A 、 B$ 是 $⊙ O$ 上两点， $A B = 10$ ，点P是 $⊙ O$ 上的动点（P与 $A 、 B$ 不重合），连接 $A P 、 P B$ ，过点O分别作 $O E ⊥ A P$ 交 $A P$ 于点E ， $O F ⊥ P B$ 交 $P B$ 于点F ，则 $E F$ 等于（）

A、2 B、3 C、5 D、6

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8. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知 $E F = C D = 8$ ，那么球的半径长是（）

A、4 B、5 C、6 D、8

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9. 如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，则该拱门的半径为（）

A、 $\frac{5}{3} m$ B、2m C、 $\frac{8}{3} m$ D、3m

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10. 如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米， $A B = 16$ 厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）

A、1.0厘米/分 B、0.8厘米/分 C、1.2厘米/分 D、1.4厘米/分

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二、填空题

11. 某市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶的距离为10 cm，则修理人员准备更换的新管道的内径为．

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12. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E ， BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为寸．

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13. 已知直线m与半径为10cm的 $⊙$ O相切于点P，AB是 $⊙$ O的一条弦，且 $\hat{P A}$ = $\hat{P B}$ ，若AB=12cm，则直线m与弦AB之间的距离为.

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14. 如图，在⊙O中，直径EF⊥CD，垂足为M，若CD＝2，EM＝5，则⊙O的半径为.

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15. 一个学生荡秋千，秋千链子的长度为 $3 m$ ，当秋千向两边摆动时，摆角（指摆到最高位置时的秋千与铅垂线的夹角）恰好是 $30 °$ ，则它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差为 m.（结果可以保留根号）

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三、解答题

16. 如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，BE＝CD＝16，试求⊙O的半径.

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17. 《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系，第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表述为：“如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $A E = 1$ 寸， $C D = 10$ 寸，求直径 $A B$ 的长，”请你解答这个问题．

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18. 如图，已知 $⊙ O$ 是 $Δ A B C$ 的外接圆，圆心O在 $Δ A B C$ 的外部， $A B = A C = 4$ ， $B C = 4 \sqrt{3}$ ，求 $⊙ O$ 的半径.

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四、综合题

19. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是 $⊙ O$ 上一点过点 $C$ 作 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，点 $F$ 是 $A B$ 延长线上一点，连接 $C F$ ， $A D$ ， $∠ F C D = 2 ∠ D A F$ ．

(1)、求证： $C F$ 是 $⊙ O$ 切线；

(2)、若 $A F = 10$ ， $s i n F = \frac{2}{3}$ ，求 $C D$ 的长．

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20. 如图，要把残缺的圆片复原，可通过找到圆心的方法进行复原，已知弧上的三点A ， B ， C ．

(1)、用尺规作图法，找出弧 $B C$ 所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、在 $△ A B C$ 中，连接 $A O$ 交 $B C$ 于点E ，连接 $O B$ ，当 $A B = A C = 10 cm ， B C = 16 cm$ 时，求图片的半径R；

(3)、若直线l到圆心的距离等于 $\frac{25}{3}$ ，则直线l与圆（填“相交”“相切”或“相离”）

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21. 如图，点A，B，C在圆O上， $∠ A B C = 60 °$ ，直线 $A D ∥ B C$ ， $A D = A B$ ，点O在 $B D$ 上．

(1)、求证 $A D$ 是圆O的切线

(2)、若 $B C = 6 \sqrt{3}$ ，求圆O的半径．

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