江西省南昌市南昌县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-12-05 类型：期中考试

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一、选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）

1. 下列图案中，不是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x + 5 = 0$ 的一次项系数是（）

A、3x B、 $- 3 x$ C、3 D、 $- 3$

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3. 抛物线 $y = 2 (x + 3)^{2} + 4$ 的顶点坐标是（）

A、 $(3 ， 4)$ B、 $(- 3 ， 4)$ C、 $(3 ， - 4)$ D、 $(- 3 ， - 4)$

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4. 已知三角形两边长分别为5和9，第三边长是方程 $x^{2} - 9 x + 8 = 0$ 的根，第三边长（）

A、1 B、6 C、8 D、9

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5. 若a ， b是方程 $x^{2} + 2 x - 2023 = 0$ 的两个实数根，则 $a^{2} + 3 a + b$ 的值是（）．

A、2021 B、2022 C、2023 D、2024

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6. 如图，一段抛物线 $y = - x^{2} + 4 x (0 \leq x \leq 4)$ ，记为抛物线 $C_{1}$ ，它与x轴交于点O ， $A_{1}$ ；将抛物线 $C_{1}$ 绕点 $A_{1}$ 旋转 $180 °$ 得抛物线 $C_{2}$ ，交x轴于点 $A_{2}$ ；将抛物线 $C_{2}$ 绕点 $A_{2}$ 旋转 $180 °$ 得抛物线 $C_{3}$ ，交x轴于点 $A_{3}$ ． …如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点 $M (2023 ， m)$ 在此“波浪线”上，则m的值为（）．

A、 $- 3$ B、3 C、 $- 4$ D、4

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二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

7. 若点 $A (1 ， 2)$ 与点 $B (m ， - 2)$ 关于原点对称，则 $m =$ ．

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8. 如果将抛物线 $y = x^{2} + 2$ 向左平移1个单位，再向下平移1个单位，那么所得到的新抛物线的表达式是．

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9. 已知点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 在抛物线 $y = x^{2} - 3$ 上，且 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，则 $y_{1}$ $y_{2}$ ．（填“<”或“>”或“=”）

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10. 一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了人．

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11. 若二次函数 $y = x^{2} - 2 x + k$ 的图象与x轴只有一个公共点，则 $k =$ ．

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12. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形 $O A B C$ 是矩形，点A ， C的坐标分别为 $A (9 ， 0)$ ， $C (0 ， 3)$ ，点D以2个单位长度/s的速度从A出发沿A至O方向向终点O运动，点P以1个单位长度/s的速度从C出发沿C至B方向向终点B运动，当 $△ O D P$ 是以 $O P$ 为一腰的等腰三角形时，点P的坐标为．

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三、解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）

13. 解下列方程：

(1)、 $x^{2} - 3 x = 0$ ；

(2)、 $x^{2} + 8 x + 15 = 0$ ．

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14. 如图，是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 图象的一部分，其对称轴为直线 $x = 1$ ，若其与x轴一交点为 $A (3 ， 0)$ ，则由图象直接回答：

(1)、方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的解是；

(2)、当x时，y随x的增大而减小；

(3)、当x满足时，函数值大于0．

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15. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点M是 $B C$ 边上任意一点，请你仅用无刻度直尺、用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）
⑴ 在图（1）中，在 $A B$ 边上求作一点N ，连接 $C N$ ，使 $C N = A M$ ；
⑵在图（2）中，在 $A D$ 边上求作一点Q ，连接 $C Q$ ，使 $C Q ∥ A M$ ．

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16. 《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、门宽、对角线的长各是多少（如图）？

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17. 如图所示，点D是等边 $△ A B C$ 内一点， $D A = 13$ ， $D B = 19$ ， $D C = 21$ ，将 $△ A B D$ 绕点A逆时针旋转到 $△ A C E$ 的位置，求 $△ D E C$ 的周长．

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四、解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）

18. 某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．

(1)、求y与x之间的函数关系式；

(2)、如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？

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19. 已知： $▱$ ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程 $x^{2} - m x + \frac{m}{2} - \frac{1}{4} = 0$ 的两个实数根.

(1)、当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；

(2)、若AB的长为2，那么 $▱$ ABCD的周长是多少？

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20. 将两个全等的 $R t △ A B C$ 和 $R t △ D B E$ 按图1方式摆放，其中 $∠ A C B = ∠ D E B = 90 °$ ，点E落在 $A B$ 上， $D E$ 所在直线交直线 $A C$ 于点F ．

(1)、求证： $C F = E F$ ；

(2)、若将图1中 $△ D B E$ 绕点B按顺时针方向旋转到图2位置，其他条件不变（如图2），请写出此时 $A F$ 、 $E F$ 与 $D E$ 之间的数量关系，并加以证明．

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五、解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）

21. 如图，四边形 $ACDE$ 是证明勾股定理时用到的一个图形， $a$ ， $b$ ， $c$ 是 $Rt △ ABC$ 和 $Rt △ BED$ 边长，易知 $AE = \sqrt{2} c$ ，这时我们把关于 $x$ 的形如 ${ax}^{2} + \sqrt{2} cx + b = 0$ 的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.

请解决下列问题：

(1)、写出一个“勾系一元二次方程”；

(2)、求证：关于 $x$ 的“勾系一元二次方程” ${ax}^{2} + \sqrt{2} cx + b = 0$ 必有实数根；

(3)、若 $x = - 1$ 是“勾系一元二次方程” ${ax}^{2} + \sqrt{2} cx + b = 0$ 的一个根，且四边形 $ACDE$ 的周长是 $6 \sqrt{2}$ ，求 $△ ABC$ 面积.

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22. 通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图①，点E ， F分别在正方形 $A B C D$ 的边 $B C$ ， $C D$ 上， $∠ E A F = 45 °$ ，连接 $E F$ ，试猜想 $E F$ ， $B E$ ， $D F$ 之间的数量关系．

(1)、【思路梳理】把 $△ A B E$ 绕点A逆时针旋转 $90 °$ 至 $△ A D G$ ，可使 $A B$ 与 $A D$ 重合，由 $∠ A D G = ∠ B = 90 °$ ，得 $∠ F D G = 180 °$ ，即点F ， D ， G共线，易证 $△ A F G ≌$ ，故 $E F$ ， $B E$ ， $D F$ 之间的数量关系为．

(2)、【类比引申】
如图②，点E ， F分别在正方形 $A B C D$ 的边 $C B$ ， $D C$ 的延长线上， $∠ E A F = 45 °$ ．连接 $E F$ ，试猜想 $E F$ ， $B E$ ， $D F$ 之间的数量关系，并证明．

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六、解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）

23. 如图，抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $A (- 2 ， 0)$ 、 $B (8 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C ．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线 $P D ⊥ x$ 轴于点D ，交直线 $B C$ 于点E ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、求线段 $P E$ 的最大值；

(3)、当 $C P = C E$ 时，求点P的坐标．

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