河北省石家庄市晋州市2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2023-12-05 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分；7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 把一元二次方程 $- 2 x^{2} + 4 = 3 x$ 化成一般形式后，若二次项系数为2，则一次项系数和常数项分别是（）

A、 $3$ ， $4$ B、 $3$ ， $- 4$ C、 $- 3$ ， $4$ D、 $- 3$ ， $- 4$

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2. 一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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3. 把方程 $x^{2} - 4 x + 2 = 0$ 转化成 $(x + m)^{2} = n$ 的形式，则m ， n的值是（）

A、 $2$ ， $2$ B、 $2$ ， $- 2$ C、 $- 2$ ， $2$ D、 $- 2$ ， $- 2$

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4. 甲、乙两人在相同条件下，各射击10次，经计算，甲射击成绩的平均数是8环，方差是1.2环；乙射击成绩的平均数是8环，方差是1.6环．下列说法不一定正确的是（）

A、甲、乙成绩的总环数相同 B、甲的成绩比乙的成绩稳定 C、甲、乙成绩的中位数可能相同 D、甲、乙成绩的众数一定相同

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5. 若数据2，3，4，5，6，x存在唯一众数，且该组数据的平均数等于众数，则x的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，若 $A B = 6$ ， $A C = 10$ ， $\frac{E F}{B F} = \frac{3}{4}$ ，则 $A E$ 的长为（）

A、2 B、4 C、6 D、7.5

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7. 如图，一壁厚均匀的容器外径为18 $c m$ ，用一个交叉卡钳（两条尺长 $A C$ 和 $B D$ 相等）可测量容器的内部直径．如果 $O A ： O C = O B ： O C = 3 ： 1$ ，且量得 $C D = 5.8 c m$ ，则零件的厚度x为（）

A、0.25 $c m$ B、0.3 $c m$ C、0.35 $c m$ D、0.4 $c m$

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8. 如图所示，是一座建筑物的截面图，高 $B C = 8 m$ ，坡面 $A B$ 的坡度为 $1 ： \sqrt{3}$ ，则斜坡 $A B$ 的长度为（）

A、16m B、 $8 \sqrt{2}$ m C、 $8 \sqrt{3}$ m D、 $16 \sqrt{3}$ m

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9. 某厂家今年一月份的口罩产量是50万个，三月份的口罩产量是80万个，若设该厂家一月份到三月份口罩产量的月平均增长率为x ，则所列方程为（）

A、 $50 (1 + x)^{2} = 80$ B、 $50 (1 - x)^{2} = 80$ C、 $50 (1 + 2 x) = 80$ D、 $50 (1 + x^{2}) = 80$

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10. 如图所示，四边形 $A B C D$ 和 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 是以点O为位似中心的位似图形．若 $O A ： A A^{'} = 1 ： 3$ ，四边形 $A B C D$ 的面积是3，则四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的面积是（）

A、9 B、12 C、27 D、48

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11. 如图所示，在平面直角坐标系中有A ， B ， C ， D四个点，其中恰有三点在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 的图象上，根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上的点是（）

A、点A B、点B C、点C D、点D

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12. 如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形 $A B C D$ ．固定一张纸条，另一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（）

A、四边形 $A B C D$ 的周长不变 B、四边形 $A B C D$ 的面积不变 C、 $A D = A B$ D、 $A B = C D$

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13. 骐骥中学规定，学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．若嘉淇同学的三项成绩（百分制）依次是96分，92分，97分，则嘉淇这学期的体育成绩是（）

A、95分 B、95.1分 C、95.2分 D、95.3分

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14. 在同一平面直角坐标系中，函数 $y = m x + n$ 与 $y = \frac{n}{m x}$ （其中m ， n是常数， $m n \neq 0$ ）的大致图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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15. 如图，坡角为 $30 °$ 的斜坡上有一棵大树 $M N$ （ $M N$ 垂直于水平地面），当太阳光线与水平线成 $45 °$ 角沿斜坡照下时，在斜坡上树影 $N T$ 的长为30米，则大树 $M N$ 的高为（）

A、 $15$ 米 B、 $15 \sqrt{3}$ 米 C、 $15 \sqrt{3} - 15$ 米 D、 $15 \sqrt{3} + 15$ 米

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16. 如图所示，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点P在边 $B C$ 上（点P不与B ， C重合，且 $P B < P C$ ，将 $△ A B C$ 沿 $A P$ 翻折 $180 °$ 变为 $△ A B^{'} C^{'}$ ， $B^{'} C^{'}$ 交 $A B$ 于点M ， $A B^{'}$ 交 $B C$ 于点N．则下列结论中，不一定正确的是（）

A、 $P A$ 平分 $∠ M A N$ B、 $△ A M C^{'} ∽ △ P M B$ C、 $∠ M P B = ∠ C A N$ D、 $A N = B N$

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二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分．请把答案写在题目中的横线上）

17. 古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔塔顶A的影子 $A^{'}$ 处直立一根木杆 $B C$ ，借助太阳光测金字塔的高度．如图所示，木杆 $B C$ 长2米．它的影长 $B C$ 是3米，同一时刻测得 $O A^{'}$ 是201米，则金字塔的高度 $A O$ 是米．

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18. 如果关于x的方程 $2 x^{2} + k x - 4 = 0$ 的一个根是 $x = 1$ ，则k= ，方程的另一个根是．

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19. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点， $▱ A B C D$ 的顶点 $A (1 ， b)$ 在双曲线 $y = \frac{2}{x} (x > 0)$ 上，顶点B在双曲线 $y = \frac{k}{x} (k < 0$ ，且 $x < 0$ 上，边 $C D$ 在x轴上．
①若 $k = - 4$ ，则 $C D$ 的长度为；
②若 $▱ A B C D$ 的面积是7，则k的值是．

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三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

20.

(1)、计算： $\sqrt{2} \cdot s i n 45 ° - 3 c o s^{2} 30 ° + t a n 60 °$ ．

(2)、解方程： $x^{2} + 6 x - 7 = 0$ ．

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21. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 是 $△ A B C$ 的三边长，且 $\frac{2}{a} = \frac{3}{b} = \frac{4}{c}$ ．

(1)、求 $\frac{a + 2 b}{3 c}$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为81，求三边 $a$ ， $b$ ， $c$ 的长．

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22. 骐骥中学举办国庆歌咏比赛，共有十位评委老师现场打分．赛后，对嘉嘉、淇淇和欧欧三位参赛同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
①嘉嘉和淇淇两位同学10个得分的折线图
②欧欧10个得分的数据（单位：分）：
10，10，9，9，9，7，4，9，10，8．
③三位同学10个得分的平均数
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、求表中的m是多少？

(2)、嘉嘉同学10个得分的中位数是分，欧欧同学10个得分的众数是分；

(3)、对于参赛同学，若某位同学10个得分数据的方差越小，则认为评委对该同学参赛的评价越一致．通过观察折线图或做相关计算，可以推断：在嘉嘉和淇淇两位同学中，评委老师们对的评价更为一致；

(4)、如果把每位同学的10个得分先去掉一个最高分和一个最低分，再取剩余8个得分的平均分，最后得分越高，就认为该同学表现越优秀，据此推断：在嘉嘉、淇淇和欧欧三位同学中，表现最优秀的是．

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23. 如图所示，点B在 $△ A O C$ 的边 $O C$ 上（点B不与点O ， C重合），连接 $A B$ ，设 $O A = a$ ， $O B = b$ ， $O C = c$ ．已知 $∠ O B A = ∠ O A C$ ．

(1)、①若 $a = 6$ ， $b = 2$ ，则c=；
②若 $A B ： A C = 1 ： 4$ ，则 $\frac{O A}{B C}$ =；

(2)、求证：关于x的方程 $x^{2} + (b + c) x + a^{2} = 0$ 必有两个不相等的实数根．

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24. 如图所示，矩形 $O A B C$ 中， $O A = 6 \sqrt{3} c m$ ， $O C = 6 c m$ ，以点O为圆心作半径 $r = 3 \sqrt{3} c m$ 的圆，交 $O A$ 于点D ，点P在线段 $O D$ 上，过点P作 $M N$ $⊥ O A$ ，交圆于两点M ， N ，连接 $O M$ ， $O N$ 的延长线交 $B C$ 于点Q ．设 $O P = t$ （ $c m$ ）．

(1)、当 $O O = 2 C Q$ 时， $M N$ = $c m$ ；

(2)、在 $∠ M O N$ 从 $120 °$ 减少到 $90 °$ 的过程中，求点Q下降的高度；

(3)、设 $B C$ 的中点为E ，当点Q在线段 $B E$ 上时，请直接写出t的取值范围．

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25. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = t$ ， t为正数，点E是 $A B$ 的中点，点P是线段 $A E$ 上的一个动点（不与点A重合），点Q是 $B C$ 的延长线 $C F$ 上的一个动点（不与点C重合），且 $A P + C Q = 8$ ，连接 $P C$ ， $A Q$ ， $A C$ 与 $P Q$ 交于点O ．设 $P A = x$ ， $△ A O Q$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ P O C$ 的面积为 $S_{2}$ ，并设 $S = S_{1} - S_{2}$ ．

(1)、嘉淇认为，能用含有x的式子表示S ，她的推理过程如下，请你补充完整：
∵ $S = S_{1} - S_{2} = S_{△ A O Q} - S_{△ P O C} = (S_{△ A O Q} + S_{△ C O Q})$ $- (S_{△ P O C} + S_{△ C O Q}) = S_{△ A C Q} - S_{△ P C Q}$ ，
且 $S_{△ A C Q} = \frac{1}{2} C Q \cdot A B =$      ▲     （用含x和t的式子表示），
$S_{△ P C Q} = \frac{1}{2} C Q \cdot P B =$      ▲  （用含x和t的式子表示），
∴ $S = S_{△ A C Q} - S_{△ P C Q} =$      ▲  （用含x的式子表示）．

(2)、若 $t = 7$ ，当 $S = 7.5$ 时，求 $P A$ 的长度（即x的值）；

(3)、若 $S = 6$ ，请结合t值的不同范围，写出 $P A$ 的长度是多少？（结合表格进行分析，直接填写表格下面的三个空即可）
① $m =$      ▲  ；②▲1处填写：     ▲  ；③▲2处填写：     ▲  ．

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26. 数学课上，老师给出题目：如图所示，在 $R t △ A B C$ 中 $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 2$ ，点D ， E分别是边 $A B$ 和边 $B C$ 上的动点，且 $A D = B E$ ，连接 $A E$ ， $C D$ ．请探究 $A E + C D$ 是否存在最小值？并说明理由．
嘉淇的想法是把 $A E$ 和 $C D$ 转移到某处，并使它们“接在一起”，然后利用“两点之间，线段最短”尝试探索，并成功解决了问题．以下是她的探索思路，请你按要求补充具体解题过程．

(1)、在射线 $A C$ 上取点F ，使 $A F = A D$ ，把 $△ A D C$ 绕点A顺时针旋转，使点D落在点F处，点C落在点G处．
①请你运用尺规作图（保留作图痕迹，不用给出证明），作出 $△ A F G$ ，并连接 $B F$ ；
②求证： $A E = B F$ ．

(2)、在（1）的基础上，请你通过探索，求出 $C D + A E$ 的最小值，并直接写出此时 $A D$ 的长度．

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