甘肃省兰州市教育局第四片区2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-12-05 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 方程 $x^{2} = 3 x$ 的解是（ $)$

A、 $x = 3$ B、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 3$ C、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - 3$ D、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 3$

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2. 将方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0 化为 {(x - m)}^{2} = n$ 的形式，指出 $m ， n$ 分别是（）

A、1和3 B、-1和3 C、1和4 D、-1和4

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3. 已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（）

A、 $2 \sqrt{5} - 2$ B、 $2 - \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{5} - 1$ D、 $\sqrt{5} - 2$

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4. 下列命题中，不正确的是（　　）

A、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形 B、有一个角是直角的菱形是正方形 C、对角线相等且垂直的四边形是正方形 D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

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5. 顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是（）

A、矩形 B、平行四边形 C、菱形 D、任意四边形

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6. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 1) x^{2} + 5 x + m^{2} - 3 m + 2 = 0$ 有一个根为0，则 $m$ 的值（）

A、0 B、1或2 C、1 D、2

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7. 根据下列表格对应值：
x 3.24 3.25 3.26
ax²+bx+c -0.02 0.01 0.03
判断关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ $(a \neq 0)$ 的一个解x的范围是（）

A、 $x < 3.24$ B、 $3.24 < x < 3.25$ C、 $3.25 < x < 3.26$ D、 $3.25 < x < 3.28$

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8. 一个不透明的盒子里有n个除颜色外其它完全相同的小球，其中有6个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后在放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n大约是( )

A、6 B、10 C、18 D、20

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9. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A₁B₁C₁相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 连续掷三枚质地均与的硬币，三枚硬币都是正面朝上的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{9}$

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11. 某钢铁厂今年1月份钢产量为5000吨，3月份上升到7200吨，设平均每月增长的百分率为 $x$ ，据题意得方程（）

A、 $5000 (1 + x) + 5000 {(1 + x)}^{2} = 7200$ B、 $5000 (1 + x^{2}) = 7200$ C、 $5000 {(1 + x)}^{2} = 7200$ D、 $5000 + 5000 {(1 + x)}^{2} = 7200$

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12. 如图所示，将矩形ABCD纸对折，设折痕为MN ，再把B点叠在折痕线MN上，（如图点B′），若 $A B = \sqrt{3}$ ，则折痕AE的长为（）

A、 $\frac{3}{2} \sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{4} \sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

13. 王芳抛一枚硬币10次，有8次正面朝上，当她抛第11次，正面朝上的概率．

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14. 已知菱形一条对角线为长8 $\sqrt{2}$ cm，周长是24 cm，则这个菱形的面积是

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15. 关于x的一元二次方程 $k x^{2} + 2 x - 3 = 0$ 有实数根，则k的取值范围是

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16. 如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC+PE的和最小，则这个最小值为.

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三、计算题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 解方程： ${(x + 5)}^{2} = 16$

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18. 解方程 $2 x^{2} = 3 - 7 x$

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19. 解方程： $x^{2} - 7 x + 6 = 0$ ．

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20. 解方程： $x^{2} + (\sqrt{3} + 1) x + \sqrt{3} = 0$

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21. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ，分别过 $C$ 、 $D$ 作 $B D$ 、 $A C$ 的平行线交于点 $E$ ，求证：四边形 $O C E D$ 是菱形

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22. 如图所示，要在20米宽，32米长的矩形耕地上修筑同样宽的三条小路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块花田，要使花田面积为 $570 m^{2}$ ，则道路应修多宽？

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23. 小敏的爸爸买了某项体育比赛的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看．可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了8张扑克牌，将数字为2，3，5，9的四张牌给小敏，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将两人抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小敏去；如果和为奇数，则哥哥去．

(1)、请用画树形图或列表的方法求小敏去看比赛的概率；

(2)、哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．

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24. 在平面直角坐标系中，分别描出点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (0 ， 2)$ ， $C (1 ， 0)$ ， $D (0 ， - 2)$ ．

(1)、试判断四边形 $A B C D$ 的形状；

(2)、若 $B 、 D$ 两点不动，你能通过变动点 $A 、 C$ 的位置使四边形 $A B C D$ 成为正方形吗？若能，请写出变动后的点 $A 、 C$ 的坐标．

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25. 如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.

(1)、求证：四边形EFGH是矩形；

(2)、若E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．

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26. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

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27. 如图， $A B ⊥ B D$ ， $C D ⊥ B D$ ， $A B = 6$ ， $C D = 4$ ， $B D = 14$ ，点 $P$ 在 $B D$ 上移动，以 $P$ ， $C$ ， $D$ 为顶点的三角形与 $△ A B P$ 相似时，求 $P B$ 的长．

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28. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = 1$ ， $B C = \sqrt{5}$ ．对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O$ ，将直线 $A C$ 绕点 $O$ 顺时针旋转，分别交 $B C ， A D$ 于点 $E ， F$ ．

(1)、【问题解决】
证明：当旋转角为 $90 °$ 时，四边形 $A B E F$ 是平行四边形；

(2)、【类比探究】
试说明在旋转过程中，线段 $A F$ 与 $E C$ 总保持相等；

(3)、【拓展应用】
在旋转过程中，四边形 $B E D F$ 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时 $A C$ 绕点 $O$ 顺时针旋转的度数．

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x	3.24	3.25	3.26
ax²+bx+c	-0.02	0.01	0.03