甘肃省陇南市西和县2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-12-05 类型：期中考试

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一、选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分）

1. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 抛物线 $y = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} - 3$ 的顶点坐标是（　　）

A、（2，-3） B、（2，3） C、（-2，-3） D、（-2，3）

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3. 将一元二次方程 $x (x + 1) - 2 x = 2$ 化为一般形式，正确的是（）

A、 $x^{2} - x = 2$ B、 $x^{2} + x + 2 = 0$ C、 $x^{2} - x + 2 = 0$ D、 $x^{2} - x - 2 = 0$

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4. 一元二次方程 $x^{2} + x - 1 = 0$ 的根的情况是（　　）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、只有一个实数根

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5. 将抛物线 $y = {(x - 3)}^{2} - 4$ 先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，所得抛物线的解析式为（　　）

A、 $y = {(x - 4)}^{2} - 6$ B、 $y = {(x - 1)}^{2} - 3$ C、 $y = {(x - 2)}^{2} - 2$ D、 $y = {(x - 4)}^{2} - 2$

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6. 如图，△ABC和 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（　　）

A、 $∠ A B C = ∠ A^{'} B^{'} C^{'}$ B、 $∠ A O B = ∠ A^{'} O B^{'}$ C、 $A B = A^{'} B^{'}$ D、 $O A = O B^{'}$

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7. 已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 1$ ，则当0≤x≤3时，函数值的最大值为（　　）

A、-2 B、-1 C、0 D、2

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8. 两个相邻奇数的积是195，求这两个奇数，设较小的奇数为x ，则可列方程（　　）

A、 $x (x + 2) = 195$ B、 $(2 x + 1) (2 x - 1) = 195$ C、 $x (x + 1) = 195$ D、 $x (x - 2) = 195$

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9. 如图，△ABC中，∠BAC=55°，将△ABC绕点A逆时针旋转α（0°<α<55°）得到△ADE ， DE交AC于点F ，当α=40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（　　）

A、80° B、85° C、90° D、95°

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10. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x (a \neq 0)$ 的图象经过点（2，0），下列结论错误的是（　　）

A、 $b > 0$ B、 $a + b > 0$ C、 $x = 2$ 是关于x的方程 $a x^{2} + b x = 0$ 的一个根 D、点 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ 在二次函数的图象上，当 $x_{1} > x_{2} > 2$ 时， $y_{2} < y_{1} < 0$

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二、填空题．（每题4分，共24分）

11. 在函数 $y = {(x - 1)}^{2}$ 中，当x>1时，y随x的增大而．（填“增大”或“减小”）

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12. 点P（-2，3）关于原点对称的点的坐标是．

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13. 将方程 $x^{2} - 6 x + 1 = 0$ 化成 ${(x + a)}^{2} = b$ 的形式，则a+b= ．

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14. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（-3，0），对称轴为直线 $x = - 1$ ，抛物线与x轴的另一个交点坐标为．

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15. 在平面直角坐标系中，将点（3，-4）绕点O逆时针旋转90°，得到的点的坐标为．

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16. 将二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 的图象在x轴上方部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线y=x+b与新函数的图象恰好有3个公共点时，b的值为．

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三、解答题：本大题6个小题，共46分

17. 解方程： $x^{2} + 2 x - 2 = 0$ .

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18. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．画出△ABC关于原点O成中心对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 的坐标．

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19. 某二次函数图象的顶点为（-3，2），且它与y轴交点的纵坐标为5，求这个二次函数的解析式．

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20. 已知方程 $x^{2} + x - 6 = 0$ 的负数根也是方程 $x^{2} - 2 x + a = 0$ 的一个根，求 $a$ 的值．

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21. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m．建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ，其中x（单位：m）是水柱距喷水头的水平距离，y（单位：m）是水柱距地面的高度．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P的水平距离为3m．身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．

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22. 已知关于 $x$ 的方程 $m x^{2} - (m + 2) x + 2 = 0 (m \neq 0)$ ．

(1)、求证：方程总有两个实数根；

(2)、若方程的两个实数根都是整数，求正整数 $m$ 的值．

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四、解答题：本大题5小题，共50分

23. 小敏与小霞两位同学解方程

3 (x - 3) = {(x - 3)}^{2}

的过程如下：

小敏：

两边同除以 $(x - 3)$ ．

得 $3 = x - 3$ ．

则 $x = 6$ ．

小霞：

移项，得 $3 (x - 3) - {(x - 3)}^{2} = 0$ ，

提取公因式，得 $(x - 3) (3 - x - 3) = 0$ ．

则 $x - 3 = 0$ 或 $3 - x - 3 = 0$ ，

∴ $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = 0$ ．

你认为他们的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．

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24. 如图，根据二次函数 $y = a x^{3} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象解答下列问题：

(1)、写出方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根；

(2)、写出不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集；

(3)、写出y随x的增大而减小时，x的取值范围；

(4)、若方程 $a x^{2} + b x + c = k$ 有两个不相等的实数根，写出k的取值范围．

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25. 某商家销售一种成本为30元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与当天的销售单价x（元）满足的函数关系式为 $y = - 15 x + 1500$ ，物价部门规定，该商品的销售单价不应超过60元．

(1)、当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润为9000元？

(2)、当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润．

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26. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC ，点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D ，延长DE交AB于点F ，连接AD ．

(1)、若∠BAC=30°，BC=1，求线段AD的长；

(2)、求证：AB⊥DF ．

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27. 如图，抛物线 $y = - \frac{2}{3} x^{2} + b x + c$ 交y轴于点C（0，2），交x轴于点A（-3，0）和点B（点A在点B的左侧）．

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ABP是以AB为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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