甘肃省兰州市红古区2023-2024学年八年级上学期数学期中考试试卷（北师大版）

试卷更新日期：2023-12-05 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 下列各组数是三角形的三边长，不能构成直角三角形的一组数是（）

A、3，4，5 B、5，12，13 C、 $\sqrt{3}$ ， 2， $\sqrt{5}$ D、1.5，2，2.5

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2. 下列各式计算结果正确的是（）

A、 $6 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} = 4$ B、 $5 \sqrt{3} + 5 \sqrt{2} = 10 \sqrt{5}$ C、 $4 \sqrt{2} \div 2 \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{2} = 8 \sqrt{6}$

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3. 在下列平面直角坐标系的各点中，位于第一象限的点是（）

A、 $(1 ， - 2)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(- 1 ， - 2)$

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4. 函数 $y = \sqrt{x + 3}$ 中自变量x的取值范围是（）

A、 $x < - 3$ B、 $x \leq - 3$ C、 $x > - 3$ D、 $x \geq - 3$

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5. 下列式子一定是二次根式的是（）

A、 $\sqrt{a}$ B、 $- \sqrt{a}$ C、 $\sqrt[3]{a}$ D、 $\sqrt{a^{2}}$

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6. 下列函数中，是一次函数的是（）

A、 $y = 3 x^{2} + 1$ B、 $y = \frac{1}{2} x + 1$ C、 $y = \frac{2}{x}$ D、 $y = \frac{1}{x + 2}$

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7. 一个正数a的平方根分别是 $2 x - 3$ 与 $5 - x$ ，则这个正数a的值是（）

A、25 B、49 C、64 D、81

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8. 已知函数 $y = x + k - 1$ 是正比例函数，则常数k的值为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、 $\pm 1$

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9. 某同学在用计算器估算6的算术平方根时，需要用到下面的（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线 $M N$ 的距离分别为 $A C = 2 k m$ ， $B D = 4 k m$ ，且 $C D = 8 k m$ ，要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（）

A、 $8 k m$ B、 $10 k m$ C、 $12 k m$ D、 $10 \sqrt{2} k m$

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11. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，分别以 $A C$ ， $A B$ 为边向外作正方形，面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，若 $S_{1} = 5$ ， $S_{2} = 13$ ，则 $B C =$ （）

A、8 B、 $2 \sqrt{2}$ C、18 D、 $3 \sqrt{2}$

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12. 如图，从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积为（）

A、36 B、 $27 \sqrt{3}$ C、72 D、 $48 \sqrt{3}$

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二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

13. 比较大小： $\sqrt{22}$ 4．（选填“ $>$ ”，“ $<$ ”或“=”）

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14. 已知 $y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{3 - x} + 8$ ，则 $3 x + 2 y$ 的平方根是．

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15. 若点 $A$ 位于第三象限，则点 $A$ 关于 $y$ 轴的对称点落在第象限．

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16. 如图，正方体的棱长为3 cm，已知点B与点C间的距离为1 cm，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离为．

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三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 计算： $\sqrt{5^{2}} + \sqrt[3]{- 8} \times \frac{1}{2} + {(- \sqrt{3})}^{2}$ ．

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18. 计算： $(\sqrt{12} + \sqrt{3}) \times \sqrt{6} - 2 \sqrt{\frac{1}{2}}$ ．

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19. 求下列各式中x的值：

(1)、 $4 x^{2} - 25 = 0$ ；

(2)、 ${(x + 3)}^{3} = 64$ ．

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20. 实数 $a$ 在数轴上的对应点 $A$ 的位置如图所示， $b = | a - \sqrt{2} | + | 3 - a |$ ．

(1)、求 $b$ 的值；

(2)、已知 $b + 2$ 的小数部分是 $m$ ， $8 - b$ 的小数部分是 $n$ ，求 $2 m + 2 n + 1$ 的平方根．

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21. 如图，平面直角坐标系中， $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (- 2 ， 4)$ ， $B (- 3 ， 1)$ ， $C (- 1 ， 2)$ ．在网格内作 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，使它与 $△ A B C$ 关于y轴对称，并写出 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 三个顶点的坐标．

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22. 已知函数 $y = (m - 10) x + 1 - 2 m$ ．

(1)、 $m$ 为何值时，这个函数是一次函数；

(2)、 $m$ 为何值时，这个函数是正比例函数．

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23. 如图，是一个“因变量随着自变量变化而变化”的示意图，下面表格中是通过运算得到的几组x与y的对应值．根据图表信息回答下列问题：
输入x
…
$- 2$
0
2
…
输出y
…
2
m
18
…

(1)、直接写出： $k =$ ， $b =$ ， $m =$ ．

(2)、当输出y的值为12时，求输入x的值．

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24. 一架云梯长25米，如图，靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．

(1)、这个梯子的顶端距离地面有多高?

(2)、如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米?

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25. 森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB ，由点A飞向点B ，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A ， B的距离分别为 $600 m$ 和 $800 m$ ， $A B = 1000 m$ ，飞机中心周围 $500 m$ 以内可以受到洒水影响．

(1)、着火点C受洒水影响吗?为什么?

(2)、若飞机的速度为 $10 m / s$ ，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭?

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26. 为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费．现设一户居民每月用水x立方米，应缴水费y元．

(1)、求出y关于x的函数表达式；

(2)、若该市一户居民某月用水10立方米，求应缴水费；

(3)、该市一户居民某月缴水费26.6元，求该户居民本月用水量．

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27. 阅读与思考
阅读下列材料，并解决相应问题：
$\frac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{4 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{4 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ ．
应用：用上述类似的方法化简下列各式：

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}$ ；

(2)、若 $k$ 是 $\sqrt{3} - 1$ ，求 $\frac{8}{k^{2}}$ 的值．

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28. 事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面活动：

(1)、一个直角三角形的两条直角边分别为6，8，那么这个直角三角形的斜边长为；

(2)、如图1， $A D ⊥ B C$ 于点D ， $A D = B D$ ， $A C = B E$ ， $A C = 3$ ， $D C = 1$ ，求 $B D$ 的长度；

(3)、如图2，点A在数轴上表示的数是多少?请用类似的方法在数轴上画出表示数 $\sqrt{10}$ 的点 $B$ （保留作图痕迹）．

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输入x	…	$- 2$	0	2	…
输出y	…	2	m	18	…