备考2024年高考数学二轮复习2 新高考四大基础题（三角+数列+立体几何+概率）突破训练

试卷更新日期：2023-12-04 类型：二轮复习

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一、解答题：本题共6小题，共70.0分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ 且 $b c o s C + c s i n B = a ， \frac{a + 2 b}{s i n A + 2 s i n B} = 6 \sqrt{2}$ ，

(1)、求 $b$ ；

(2)、求 $A C$ 边上中线长的取值范围．

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2. 家用自来水水龙头由于使用频繁，很容易损坏.受水龙头在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每件水龙头的利润与该水龙头首次出现损坏的时间有关.某阀门厂生产尺寸都为4分（指的是英制尺寸）的甲（不锈钢阀芯），乙（黄铜阀芯）两种品牌的家用水龙头，保修期均为1年（4个季度）.现从该厂已售出的这两种水龙头中各随机抽取200件，统计数据如下表：
品牌
甲
乙
首次出现损坏时间x（季度）
$0 < x \leq 4$
$x > 4$
$0 < x \leq 2$
$2 < x \leq 4$
$x > 4$
水龙头数量（件）
20
180
8
16
176
每件的利润（元）
3.6
5.8
2
4
6
将频率视为概率，解答下列问题：

(1)、从该厂生产的甲､乙两种品牌水龙头中各随机抽取一件，求恰有一件首次出现损坏发生在保修期内的概率；

(2)、由于资金限制，只能生产其中一种品牌的水龙头.若从水龙头的利润的均值考虑，你认为应选择生产哪种品牌的水龙头比较合理？

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n}^{2} ， n \in N^{*} ， a_{1} = 5$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项；

(2)、设 $b_{n} = \frac{2 a_{n}}{a_{n}^{2} - 1} ， S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，求证 $S_{n} < \frac{1}{2}$ ．

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4. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = 2 \sqrt{2} ， B C = 1 ， A B ⊥ B C$ ，直线 $P A$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ ，直线 $P B$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ ．

(1)、求三棱锥体积的取值范围；

(2)、当直线 $P C$ 与平面 $A B C$ 所成角最小时，求二面角 $P - A B - C$ 的平面角的余弦值.

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二、解答题

5. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\frac{s i n^{2} A}{a} = \frac{c o s A \cdot c o s B + 2 c o s^{2} C}{b}$ ， C为锐角．

(1)、求C；

(2)、若 $a + b = \frac{3 \sqrt{3}}{2} ， c = \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 的面积．

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6. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $\frac{1}{a_{1}} - \frac{1}{a_{2}} = \frac{2}{a_{3}} ， S_{4} = 30$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{1} = 1$ ， $b_{1} + \frac{1}{2} b_{2} + \frac{1}{3} b_{3} + ⋯ + \frac{1}{n} b_{n} = b_{n + 1} - 1 ， (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${c_{n}}$ 的通项 $c_{n} = a_{n} + (- 1)^{n} (3 b_{n} + 1)$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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7. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A D$ 为等边三角形， $M$ 为 $P A$ 的中点， $P D ⊥ A B$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、证明：平面 $M C D ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $A D / / B C$ ， $A D = 2 B C$ ， $C D = 2 A B$ ，求平面 $M C D$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值．

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8. 为了促进地方经济的快速发展，国家鼓励地方政府实行积极灵活的人才引进政策，被引进的人才，可享受地方的福利待遇，发放高标准的安家补贴费和生活津贴．某市政府从本年度的1月份开始进行人才招聘工作，参加报名的人员通过笔试和面试两个环节的审查后，符合一定标准的人员才能被录用．现对该市1~4月份的报名人员数和录用人才数（单位：千人）进行统计，得到如下表格．

月份	1月份	2月份	3月份	4月份
报名人员数 $x$ /千人	$3.5$	5	$6.5$	7
录用人才数 $y$ /千人	$0.2$	$0.33$	$0.4$	$0.47$

附：经验回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x} ； \sum_{i = 1}^{4} x_{i}^{2} = 128.5 ， \sum_{i = 1}^{4} x_{i} y_{i} = 8.24 .$

(1)、求出y关于x的经验回归方程；

(2)、假设该市对被录用的人才每人发放2万元的生活津贴

（i）若该市5月份报名人员数为8000人，试估计该市对5月份招聘的人才需要发放的生活津贴的总金额；

（ii）假设在参加报名的人员中，小王和小李两人被录用的概率分别为 $p$ ， $3 p - 1$ ．若两人的生活津贴之和的均值不超过3万元，求 $p$ 的取值范围．

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9. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $2 S_{n} = 3 a_{n} - a_{1}$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2} + 6$ ， $a_{3}$ 成等差数列．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求使得 $| T_{n} - \frac{1}{2} | < \frac{1}{2000}$ 成立的x的最小值

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10. 为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日继续在全省实施景区门票减免，全省国有A级旅游景区免首道门票，鼓励非国有A级旅游景区首道门票至少半价优惠．某机构为了了解游客对全省实施景区门票减免活动的满意度，从游客中按年龄40周岁及以下和40周岁以上随机抽取100人，其中年龄在40周岁及以下的有40人，且有

75 %

的游客表示满意，年龄在40周岁以上的游客中表示满意的人数与年龄在40周岁及以下的游客中表示满意的人数相同．

(1)、根据统计数据完成以下2×2列联表，并根据小概率值

α = 0.05

的独立性检验，能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联？

	不满意	满意	总计
40周岁及以下
40周岁以上
总计

(2)、按照年龄和满意与否采用分层抽样从这100名游客中随机抽取10名，进一步了解游客对本次活动的看法，再从这10名游客中随机选取3名作为代表对本次活动提出改进措施，记选取的3名代表中“40周岁及以下表示满意”与“40周岁以上表示满意”的人数差的绝对值为

X

，求随机变量

X

的分布列和数学期望．

参考公式及数据： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

$α = P (χ^{2} \geq k)$	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

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品牌	甲		乙
首次出现损坏时间x（季度）	$0 < x \leq 4$	$x > 4$	$0 < x \leq 2$	$2 < x \leq 4$	$x > 4$
水龙头数量（件）	20	180	8	16	176
每件的利润（元）	3.6	5.8	2	4	6