2024高考一轮复习第三十讲等差数列及其前n项和

试卷更新日期：2023-12-04 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 已知等差数列 ${a_{n}}$ ，记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} = 1$ ， $S_{7} = 5 a_{5}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $- 1$ D、 $- 2$

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2. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} = 1 ， a_{2} a_{4} = 0$ ，则公差 $d =$ （）

A、1 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- 1$ 或 $- \frac{1}{3}$

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{1} = \frac{1}{3} ， a_{2} + a_{5} = 4$ ，则 $S_{9}$ 等于（）

A、27 B、24 C、21 D、18

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4. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题： “今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何?"，该问题中， “善走男” 第5日所走的路程里数为（）

A、110 B、120 C、130 D、140

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 各项为正数， ${b_{n}}$ 满足 $a_{n}^{2} = b_{n} b_{n + 1}$ ， $a_{n} + a_{n + 1} = 2 b_{n + 1}$ ，则（）

A、 ${b_{n}}$ 是等差数列 B、 ${b_{n}}$ 是等比数列 C、 ${\sqrt{b_{n}}}$ 是等差数列 D、 ${\sqrt{b_{n}}}$ 是等比数列

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6. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{10} = 20$ ， $S_{20} = 10$ ，则 $S_{30} =$ （）

A、0 B、-10 C、-30 D、-40

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7. 在递增等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 4$ ，且 $3 a_{5}$ 是 $a_{6}$ 和 $a_{7}$ 的等差中项，则 $a_{10} =$ （）

A、256 B、512 C、1024 D、2048

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8. $5 G$ 基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至 $2022$ 年 $7$ 月底， $A$ 地区已经累计开通 $5 G$ 基站 $300$ 个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进 $5 G$ 网络建设．已知 $2022$ 年 $8$ 月该地区计划新建 $50$ 个 $5 G$ 基站，以后每个月比上一个月多建 $40$ 个，则 $A$ 地区到 $2023$ 年 $12$ 月底累计开通 $5 G$ 基站的个数为（）

A、5650 B、5950 C、6290 D、6590

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9. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} + a_{4} = 4$ ，则 $S_{6} =$ （）

A、6 B、12 C、18 D、24

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10. 记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则“ $S_{3} = 3 a_{2}$ ”是“ ${a_{n}}$ 为等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11. 已知 ${a_{n}}$ 是公差不为0的等差数列， $a_{1} = 2$ ，若 $a_{1} ， a_{3} ， a_{7}$ 成等比数列，则 $a_{2023} =$ （）

A、2023 B、2024 C、4046 D、4048

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12. 一个等差数列的前3项之和为12，第4项为0，则第6项为（）

A、-2 B、-4 C、1 D、2

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13. 2022年10月16日上午10时，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕.某单位组织全体党员在报告厅集体收看党的二十大开幕式，认真聆听习近平总书记向大会所作的报告.已知该报告厅共有10排座位，共有180个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为（）

A、23 B、25 C、27 D、29

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14. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则谷雨日影长为（）

A、3.5尺 B、4.5尺 C、5.5尺 D、6.5尺

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二、填空题

15. 若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，且 $a_{2} = 2$ ， $S_{5} = 20$ ，则该数列的前 $n$ 项和为 $S_{n} =$ ．

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16. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 8$ ， $S_{6} = 30$ ，则 $a_{5}$ 的值是．

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17. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} = 10 ， S_{15} = 0$ ，则 $S_{16} =$ ．

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18. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{5} + a_{7} + a_{9} = 6$ ，则 $S_{13} =$ .

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19. 中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ${a_{n}}$ ，则该数列最大项和最小项之和为．

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20. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和.已知 $\frac{3 S_{n}}{n} + n = 3 a_{n} + 1$ ， $a_{1} = - \frac{1}{3}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式，是.

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三、解答题

21. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = \frac{n a_{n}}{(n + 1) (n a_{n} + 1)} (n \in N^{*})$ ， ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项为 $S_{n}$ ．

(1)、求证： ${\frac{1}{n a_{n}}}$ 为等差数列，并求 ${a_{n}}$ 的通项公式 $；$

(2)、当 $n \geq 2$ 时， $16 a_{n} + \frac{1}{a_{n - 1}} \geq λ S_{n}$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围．

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22. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d (d \neq 0)$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，现给出下列三个条件：① $S_{1} ， S_{2} ， S_{4}$ 成等比数列；② $S_{4} = 32$ ；③ $S_{6} = 3 (a_{6} + 2)$ .请你从这三个条件中任选两个解答下列问题.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} - b_{n - 1} = 2 a_{n} (n \geq 2)$ ，且 $b_{1} = 3$ ，设数列 ${\frac{1}{b_{n}}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求证： $\frac{1}{3} \leq T_{n} < \frac{1}{2}$ .

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23. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，且满足 $a_{2} = 3$ ， $a_{2} + a_{4} + a_{6} = 21$ ．数列 ${b_{n}}$ 的前n项和是 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + b_{n} = 2$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 及数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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24. 已知两个正项数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 满足 $\frac{1}{a_{n} - b_{n}} = b_{n}$ ， $\frac{1}{a_{n}} = \frac{b_{n}}{n^{2} + 1}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，求数列 ${[a_{n} + a_{n + 1}] \cdot 2^{b_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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2024高考一轮复习 第三十讲 等差数列及其前n项和

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二、填空题

三、解答题

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