湖南省邵阳市洞口县2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-12-04 类型：期中考试

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一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1. 下列式子是分式的是（）

A、 $\frac{x}{2}$ B、 $\frac{1}{2} (1 - x)$ C、 $\frac{x}{2} + y$ D、 $\frac{x}{x + 1}$

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2. 长度为8，3，x的三条线段构成三角形，则x的值可能是（）

A、3 B、7 C、5 D、12

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{6} + a^{6} = 2 a^{12}$ B、 $a^{3} \cdot {(- a)}^{5} \cdot a^{12} = - a^{20}$ C、 ${(2 a^{2})}^{3} = 6 a^{5}$ D、 $2^{- 2} ÷ 2^{0} × 2^{3} = 32$

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4. 如果 x，y 同时扩大为原来的2倍，那么分式 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x + y}$ 的值变成原来的（）

A、2倍 B、4倍 C、 $\frac{1}{2}$ D、不变

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5. 分式 $\frac{4 y + 3 x}{4 a}$ ， $\frac{x + 1}{x^{2} - 1}$ ， $\frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x - y}$ ， $\frac{a^{2} + 2 a b}{a b + 2 b^{2}}$ 中，最简分式有（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A B$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点D，交 $A C$ 于点E，若 $∠ A B C = 70 °$ ，则 $∠ B E C =$ （）

A、 $60 °$ B、 $70 °$ C、 $80 °$ D、 $76 °$

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7. 华夏飞天续锦章，摘星揽月入天阊.2023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心圆满发射成功．此次神舟十七号载人飞船航天员空间站还将进行一系列科学实验，包括“空间蛋白质分子组装与应用研究”．其中某一蛋白质分子的直径仅 $0.000000028$ 米，这个数用科学记数法表示为（）

A、 $0.28 \times 1 0^{- 7}$ B、 $2.8 \times 1 0^{- 9}$ C、 $2.8 \times 1 0^{- 8}$ D、 $2.8 \times 1 0^{- 10}$

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8. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，不能判定 $△ A C D ≌ △ A B E$ 的条件是（）

A、 $∠ A E B = ∠ A D C$ ， $B E = C D$ B、 $A C = A B$ ， $∠ B = ∠ C$ C、 $A C = A B$ ， $A D = A E$ D、 $∠ A E B = ∠ A D C$ ， $∠ B = ∠ C$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 3 ∠ C$ ， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的平分线， $B M ⊥ A D$ ，垂足为M，且 $A B = 6$ ， $B M = 2$ ，则 $A C =$ （）．

A、10 B、7 C、8 D、9

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二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11. 计算： $\frac{2 a}{a + 1}$ + $\frac{2}{a + 1}$ = ．

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12. 在等腰三角形 $A B C$ 中，它的两边长分别为 $6 c m$ 和 $3 c m$ ，则它的周长 $=$ ．

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13. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A : ∠ B = 2 : 1$ ，其中 $∠ C$ 的外角等于120度，则 $∠ B =$ ．

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14. $x^{m} = 2 ， x^{n} = 3 ，$ ， $x^{4 m - 2 n} =$ ．

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15. 分式 $\frac{| x | - 4}{x + 4}$ 值为0， $x =$ ．

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16. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，将 $△ A B C$ 沿 $D E$ 折叠，使得点B落在 $A C$ 边上的点F处，若 $∠ C F D = 75 °$ 且 $△ A E F$ 中 $A E = A F$ ，则 $∠ A$ =度．

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三、解答题（本大题共7个小题，共72分．第17、18每题8分，第19-21题10分，第22题12分，23题14分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 计算：

(1)、 ${(- 1)}^{2023} + {(π - 2023)}^{0} - {(- \frac{1}{2})}^{- 2}$

(2)、 ${(\frac{x z^{2}}{- y})}^{3} \cdot {(\frac{y^{2}}{x z})}^{4} \div {(\frac{x y}{- 2 z})}^{3}$

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18. 解方程： $\frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x + 1} = 1$

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19. 已知：如图， $A E = A F$ ， $C E = C F$ ， $∠ B = ∠ D$ ，求证： $A B = A D$ ．

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20. “一年好景君须记，最是雪峰橘黄时”.10月20日“香满雪峰桔约洞口———2023年湖南洞口雪峰蜜桔文化节”盛大开幕，吸引了全国各地商人纷至沓来．已知甲到洞口距离为200千米，乙到洞口的距离为180千米．甲、乙两人同时开车去洞口，甲开车比乙开车的速度快10千米/小时，结果两辆车同时到达．求乙的车速．

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21. 诊断与纠错：先化简分式 $\frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 1} \div (1 - \frac{2 x - 1}{x + 1})$ ，再代入一个合适的数求值．
请观察以下解答过程，指出其中的错误．并写出正确的解答过程．
解：原式 $= \frac{x (x - 2)}{(x + 1) (x - 1)} \div (\frac{x + 1}{x + 1} - \frac{2 x - 1}{x + 1})$   ①
$= \frac{x (x - 2)}{(x + 1) (x - 1)} \div (\frac{x + 1 - 2 x - 1}{x + 1})$    ②
$= \frac{x (x - 2)}{(x + 1) (x - 1)} \div \frac{- x}{x + 1}$        ③
$= \frac{x (x - 2)}{(x + 1) (x - 1)} \times \frac{x + 1}{- x}$        ④
$= - \frac{x - 2}{x - 1}$            ⑤
取 $x = 2$ ，原式 $= 0$     ⑥
错误的是          步．请更正：

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B A = B C$ ， $B D ⊥ A C$ ．

(1)、求证 $△ A B D ≌ △ C B D$

(2)、若 $D E ∥ B C$ 交 $B A$ 于E， $A C = 4$ ， $B C = 5$ ，求 $△ A E D$ 的周长．

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23. 发现与探究：三角形的重心
三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．
图2中， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $△ A C D$ 与 $△ A B D$ 等底等高，面积相等，记作 $S_{△ A C D} = S_{△ A B D}$ ．
图3中，若 $△ A B C$ 三条中线 $A D$ 、 $B E$ 、 $C F$ 交于点G，则 $G D$ 是 $△ G B C$ 的中线，利用上述结论可得： $S_{△ G C D} = S_{△ G B D}$ ，同理 $S_{△ G B F} = S_{△ G A F}$ ， $S_{△ G A E} = S_{△ G C E}$ ．

(1)、若设 $S_{△ G C D} = x$ ， $S_{△ G B F} = y$ ， $S_{△ G A E} = z$ ，猜想x，y，z之间的数量关系，并证明你的猜想．

(2)、由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积，如果 $△ A B C$ 面积为m，用含有m的式子表示 $△ B G C$ 的面积为， $B G ： G E$ =

(3)、图4中点D、E在 $△ A B C$ 的边 $A C 、 A B$ 上， $B D 、 C E$ 交于G，G是 $△ A B C$ 重心， $B D = 6$ ， $C E = 9$ ， $B D ⊥ C E$ ，求四边形 $A E G D$ 的面积．

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