河北省承德市兴隆县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-12-04 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共16个小题，1-6每小题3分，7-16每小题2分，共38分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ ，则下列等式不成立的是（）

A、 $\frac{a + b}{b} = \frac{5}{3}$ B、 $3 a = 2 b$ C、 $\frac{a}{b} = \frac{a + 2}{b + 2}$ D、 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3}$

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2. 在 $Rt △ ABC$ 中，∠C= $90^{°}$ ，AB=4， $tanA = \sqrt{3}$ ，则 $BC$ 的长为（）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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3. 以 $- 2$ 为一根的一元二次方程可能是（）

A、 $x^{2} - 2 x = 0$ B、 $x^{2} - x = 0$ C、 $x^{2} + x + 2 = 0$ D、 $x^{2} + x - 2 = 0$

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4. 用配方法解方程 $x^{2} - 8 x - 7 = 0$ ，则配方正确的是（）

A、 $(x + 4)^{2} = 23$ B、 $(x - 4)^{2} = 23$ C、 $(x - 4)^{2} = 9$ D、 $(x - 8)^{2} = 23$

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5. 已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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6.
如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则 tan∠ACB的值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 　

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7. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（）

A、 $x^{2} - 2023 x = 0$ B、 $(x + 1)^{2} = 0$ C、 $x^{2} + 4 = 2 x$ D、 $x^{2} + 2 = 3 x$

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8. 根据关于x的一元二次方程 $x^{2} + p x + q = 0$ ，可列表如下：则方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的正数解满足（）
x
2.5
3
3.1
3.2
3.3
3.4
$x^{2} + p x + q$
$- 2.75$
$- 1$
$- 0.59$
$- 0.16$
0.29
0.76

A、解的整数部分是3，十分位是1 B、解的整数部分是3，十分位是2 C、解的整数部分是3，十分位是3 D、解的整数部分是3，十分位是4

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9. 如图， $A B ∥ C D ∥ E F$ ，那么下列结论正确的是（）

A、 $\frac{C D}{E F} = \frac{B C}{B E}$ B、 $\frac{E C}{B E} = \frac{D F}{A D}$ C、 $\frac{A D}{D F} = \frac{B C}{C E}$ D、 $\frac{C D}{E F} = \frac{A B}{E F}$

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10. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + m x + 3 = 0$ 的一个根是1，则另一个根和m的值分别为（）

A、 $- 1$ ， 3 B、1，3 C、 $- 3$ ， 4 D、3， $- 4$

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11. 如图，身高 $1.6 m$ 的小亮站在某路灯下，发现自己的影长恰好是 $3 m$ ，经测量，此时小亮离路灯底部的距离是 $9 m$ ，则路灯离地面的高度AB是（）

A、 $4.8 m$ B、 $6 m$ C、 $6.4 m$ D、 $9 m$

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12. 如图，P是叶脉AB的黄金分割点（ $P A > P B$ ），则 $\frac{P B}{A P} =$ （）

A、 $\frac{A P}{A B}$ B、 $\frac{A B}{B P}$ C、 $\frac{A P}{B P}$ D、 $\frac{A P^{2}}{A B^{2}}$

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13. 如图，一座厂房屋顶人字架的跨度 $A C = 12 m$ ，上弦 $A B = B C$ ， $∠ B A C = 25 °$ ，若用科学计算器求上弦AB的长，则下列按键顺序正确的是（）

A、 $6 \times s i n 25 =$ B、 $6 \div c o s 25 =$ C、 $6 \div t a n 25 =$ D、 $12 \div c o s 25 =$

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14. 如图，在直角坐标系中， $△ A B C$ 与 $△ O D E$ 是位似图形，已知点 $A (2 ， 1)$ ，则位似中心的坐标是（）

A、 $(1 ， 5)$ B、 $(4 ， 2)$ C、 $(1 ， 4)$ D、 $(5 ， 2)$

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15. 为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场．该校八年级共有（）个班．

A、9 B、10 C、5 D、8

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16. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是 $△ A B C$ 的面积的（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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二、填空题（本大题共3个小题，5个空，每空2分，共10分。）

17. 已知关于x的一元二次方程 $(a - 3) x^{2} - 8 x + 9 = 0$ ．
⑴若方程的一个根为 $x = - 1$ ，则a的值为；
⑵若方程有实数根，则满足条件的正整数a的值为．

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18. 如图所示，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于D ，下列四个结论中：
① $∠ B + ∠ D A C = 90 °$ ；② $∠ B = ∠ D A C$ ；③ $C D ： A D = A C ： A B$ ；④ $A B^{2} = B D \cdot B C$ ．
其中正确的有．（填序号）

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19. 如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度是 $1 ： \sqrt{3}$ ， $A C = 10 m$ ，则 $t a n A =$ ，坡面AB的长度是 $m$ ．

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三、解答题（本大题共7个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

20. 解方程：

(1)、 $(x - 5)^{2} = 8 (x - 5)$

(2)、 $2 x^{2} - 4 x - 3 = 0$

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21. 如图，在等边 $△ A B C$ 中，点D、E分别在边BC、AC上， $∠ A D E = 60 °$ ，若 $A D = 4$ ， $\frac{B D}{C E} = \frac{3}{2}$ ，求DE的长．

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22. 如图，有总长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD ．

(1)、如果设花圃的宽 $A B = x$ 米，则BC长多少米？（用含x的代数式表示）

(2)、如果要使花圃的面积为45平方米，那么花圃的宽AB应为多少米？

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23. 如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是 $30 °$ ，朝大树方向下坡走8米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是 $48 °$ ，若坡角 $∠ F A E = 30 °$ ，求大树的高度（结果保留整数，参考数据： $s i n 48 ° \approx 0.74$ ， $c o s 48 ° \approx 0.67$ ， $t a n 48 ° \approx 1.11$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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24. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知可取任何实数，试求二次三项式 $x^{2} + 2 x + 3$ 的最小值．
解： $x^{2} + 2 x + 3 = x^{2} + 2 x + 1 + 2 = (x + 1)^{2} + 2$ ；
∵无论x取何实数，都有 $(x + 1)^{2} \geq 0$ ，
∴ $(x + 1)^{2} + 2 \geq 2$ ，即 $x^{2} + 2 x + 3$ 的最小值为2．

(1)、【尝试应用】请直接写出 $2 x^{2} + 4 x + 10$ 的最小值；

(2)、【拓展应用】试说明：无论x取何实数，二次根式 $\sqrt{x^{2} + x + 2}$ 都有意义；

(3)、【创新应用】如图，在四边形ABCD中， $A C ⊥ B D$ ，若 $A C + B D = 10$ ，求四边形ABCD的面积最大值．

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25. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品 $.$ 当商品售价为40元时，一月份销售256件 $.$ 二、三月该商品十分畅销 $.$ 销售量持续走高 $.$ 在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件 $.$ 设二、三这两个月的月平均增长率不变．

(1)、求二、三这两个月的月平均增长率；

(2)、从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？

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26. 如图1和图2，平面上，四边形ABCD中， $A B = 8$ ， $B C = 2 \sqrt{11}$ ， $C D = 12$ ， $D A = 6$ ， $∠ A = 90 °$ ，点M在AD上，且 $D M = 2$ ．将线段MA绕点M顺时针旋转 $n ° (0 < n \leq 180)$ 到 $M A^{'}$ ． $∠ A^{'} M A$ 的平分线MP所在的直线交折线 $A B - B C$ 于点P ，设点P在该折线上运动的路径长为 $x (x > 0)$ ，连接 $A^{'} P$ ．

(1)、若点P在AB上，求证： $A^{'} P = A P$ ；

(2)、如图2，连接BD ，求 $∠ C B D$ 的度数，并直接写出 $n = 180$ 时，x的值；

(3)、如图3和图4，若点P到BD的距离为2，求 $t a n ∠ A M P$ 的值．

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x	2.5	3	3.1	3.2	3.3	3.4
$x^{2} + p x + q$	$- 2.75$	$- 1$	$- 0.59$	$- 0.16$	0.29	0.76