上海市黄浦区2023-2024学年八年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-12-04 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）

1. 下列二次根式中，属于同类二次根式的是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ 与 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 与 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\sqrt{18}$ 与 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ D、 $\sqrt{4 a}$ 与 $\sqrt{8 a}$

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2. 下列方程中，是一元二次方程的有（    ）个．
$（ 1 ）$ $x^{2} - 18 = 0$        $（ 2 ）$ $3 y^{2} - 4 x = 0$        $（ 3 ）$ $x - \frac{1}{x} = 0$
$（ 4 ）$ $\sqrt{3} x^{2} - x + 1 = 0$        $（ 5 ）$ $(x + 1) (x + 4) = x (x - 2)$        $（ 6 ）$ $(x + 3) (x - 3) + 16 = 0$

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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3. 下列式子中，是 $a \sqrt{x} + b \sqrt{y}$ 的有理化因式的是（）

A、 $a \sqrt{x} - b \sqrt{y}$ B、 $a \sqrt{x} + b \sqrt{y}$ C、 $b \sqrt{x} + a \sqrt{y}$ D、 $\sqrt{x} - \sqrt{y}$

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4. 下列各图像中，表示函数 $y = x$ 的大致图像是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 下列关于x的一元二次方程有实数根的是（）

A、 $x^{2} + 1 = 0$ B、 $x^{2} + x + 1 = 0$ C、 $x^{2} - x + 1 = 0$ D、 $x^{2} - x - 1 = 0$

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6. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．忽略空气阻力的影响，高空抛物的物体所在高度 $h$ （单位：m）和下落的时间 $t$ （单位：s）近似满足自由落体公式 $h = \frac{1}{2} g t^{2}$ ，其中 $g = 9.8 m / s^{2}$ ，那么从 $50 m$ 高空抛物到落地的时间 $t_{1}$ 与从 $200 m$ 高空抛物到落地的时间 $t_{2}$ 之比 $t_{1} ： t_{2}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{5}{49}$

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二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）

7. 函数 $y = \sqrt{3 - 2 x}$ 的定义域是．

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8. 化简二次根式： $\sqrt{18 x^{3}} =$ ．

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9. 计算： $(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2}) =$ ．

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10. 计算： $\sqrt{35} \div \sqrt{\frac{2}{7}} \times \sqrt{\frac{5}{2}} =$ ．

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11. 在实数范围内分解因式： $x^{2} + 6 x - 5 =$ ．

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12. 已知 $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ ，则 $f (\sqrt{2}) =$ ．

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13. 方程 $x^{2} + \sqrt{3} x = 0$ 的解是．

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14. 已知 $y$ 是 $x$ 的正比例函数，且当 $x = \sqrt{3}$ 时， $y = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ；那么 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式为．

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15. 某商场对空调进行两次降价，假设两次降价的百分率相同，降价后的价格为降价前的 $64 %$ ，则每次降价百分率为．

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16. 关于x的一元二次方程 $（ m + 3) x^{2} - 5 x - m^{2} - 5 m - 6 = 0$ 有一个根为0，则m=

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17. 已知 $| 2022 - a | + \sqrt{a - 2023} = a$ ，则 $a - 2022^{2} =$ .

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18. 已知 $x y \neq 1$ ，且有 $x^{2} + 20 x + 10 = 0$ 及 $10 y^{2} + 20 y + 1 = 0$ ，则 $\frac{x}{y}$ 的值为．

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三、解答题（一）（本大题共6题，每题5分，满分30分）

19. 计算： $\sqrt{75} - \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{\frac{16}{3}} - \sqrt{27}$ ．

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20. 计算： $2 a^{3} b \sqrt{a^{2} b} \cdot 3 \sqrt{\frac{a}{b}} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^{2}}{a}}$ ．

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21. 解方程： ${(3 x + 2)}^{2} = (3 x + 2) (5 x + 1)$ ．

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22. 用配方法解方程： $2 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

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23. 已知 $y - 1$ 与 $x$ 成正比例，且当 $x = 2$ 时， $y = - 5$ ，求：

(1)、 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、当 $y = 12$ 时， $x$ 的值．

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24. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(k + 1) x^{2} - 2 k x - 2 + k = 0$ 有两个不相等的实数根，求实数 $k$ 的取值范围．

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四、解答题（二）（本大题共4题，第25、26、27题每题6分，第28题10分，满分28分）

25. 先化简： $\frac{x^{2} + x - 6}{x} \div \frac{x + 3}{x^{2} - 2 x}$ ，再求当 $x = 2 + \sqrt{3}$ 时代数式的值．

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26. 一个小组有若干人，中秋节互送贺卡，若全组共送90张贺卡，则这个小组共有多少人？

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27. 已知点 $A (4 ， m)$ 在正比例函数 $y = k x (k \neq 0)$ 图像上，过点 $A$ 作 $A B ⊥ x$ 轴，垂足为 $B$ ，若 $△ A O B$ 的面积为8，求 $k$ 的值．

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28. 等腰直角 $△ A B C$ 的直角边 $A B = B C = 20 c m ， A C = 20 \sqrt{2} c m$ ，点 $P 、 Q$ 分别从 $A 、 C$ 两点同时出发，均以 $1 c m /$ 秒的相同速度做直线运动，已知 $P$ 沿射线 $A B$ 运动， $Q$ 沿边 $B C$ 的延长线运动， $P Q$ 与直线 $A C$ 相交于点 $D$ ．设 $P$ 点运动时间为 $t$ ， $△ P C Q$ 的面积为 $S$ ．

(1)、求出 $S$ 关于 $t$ 的函数关系式；

(2)、当点 $P$ 运动几秒时， $S_{△ P C Q} = S_{△ A B C}$ ？

(3)、作 $P E ⊥ A C$ 于点 $E$ ，当点 $P 、 Q$ 运动时，线段 $D E$ 的长度是否改变？如果不变，请直接写出 $D E$ 的长度；如果改变，请说明理由．

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