安徽省芜湖市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-12-04 类型：期中考试

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一、选择题：每小题给出的四个选项中，其中只有一个是正确的。请把正确选项的代号写在下面的答题表内（本大题共10小题，每题4分，共40分）

1. 将一元二次方程 $2 x^{2} + 1 = 3 x$ 化成一般形式后，它的二次项系数是2，则一次项系数是（）．

A、 $- 3$ B、3 C、 $- 1$ D、1

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2. 一元二次方程 $3 x^{2} - m x - 3 = 0$ 有一根是 $x = 1$ ，则另一根是（）

A、 $x = 1$ B、 $x = - 1$ C、 $x = 2$ D、 $x = 4$

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3. 点 $(1 ， - 1)$ 关于原点对称的点的坐标为（）．

A、 $(1 ， 1)$ B、 $(1 ， - 1)$ C、 $(- 1 ， - 1)$ D、 $(- 1 ， 1)$

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4. 方程 $x^{2} - 8 x + 16 = 0$ 根的情况是（）．

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、有一个实数根 D、没有实数根

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5. 将抛物线 $y = 4 x^{2}$ 向上平移6个单位，再向右平移9个单位，得到的抛物线的解析式为（）．

A、 $y = 4 {(x + 9)}^{2} + 6$ B、 $y = 4 {(x - 9)}^{2} + 6$ C、 $y = 4 {(x + 9)}^{2} - 6$ D、 $y = 4 {(x - 9)}^{2} - 6$

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6. 2023年杭州第19届亚运会羽毛球比赛共产生7枚金牌，比赛中某次羽毛球的运动路线可以看作是如图所示的抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{4} x + 1$ 图象的一部分，其中出球点 $B$ 离地面 $O$ 点的距离是1米，则球落地点 $A$ 到 $O$ 点的距离是（）．

A、1米 B、3米 C、4米 D、 $\frac{25}{16}$ 米

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 55 ° ， ∠ C = 20 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $a$ 角度（ $0 < a < 180 °$ ）得到 $△ A D E$ ，若 $D E / / A B$ ，则 $α$ 的值为（）

A、 $75 °$ B、 $80 °$ C、 $85 °$ D、 $90 °$

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8. 二次函数 $y_{1} = - x^{2} + b x + c$ 与一次函数 $y_{2} = k x + m$ 的图象交于点 $A (2 ， 3)$ 和点 $B (4 ， 1)$ ，要使 $y_{1} > y_{2}$ ，则x的取值范围是（）

A、 $x < 2$ B、 $x < 4$ C、 $2 < x < 4$ D、 $x < 2$ 或 $x > 4$

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9. 已知函数 $y = 2 m x^{2} + (1 - 4 m) x + 2 m - 1$ ，下列结论错误的是（）．

A、当 $m = 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大 B、当 $m = \frac{1}{2}$ 时，函数图象的顶点坐标是 $(\frac{1}{2} ， \frac{1}{4})$ C、当 $m = - 1$ 时，若 $x < \frac{5}{4}$ ，则 $y$ 随 $x$ 的增大而减小 D、无论 $m$ 取何值，函数图象不经过同一个点

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10. 如图，点 $E$ 是等边三角形 $A B C$ 边 $A C$ 的中点，点 $D$ 是直线 $B C$ 上一动点，连接 $E D$ ，并绕点 $E$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $E F$ ，连接 $D F$ ．若运动过程中 $A F$ 的最小值为 $\sqrt{3} + 1$ ，则 $A B$ 长为（）．

A、2 B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 ° ， A B = B C = 3$ ，点 $D$ 在 $A C$ 上，且 $A D = 2$ ，将点 $D$ 绕着点 $A$ 顺时针方向旋转，使得点 $D$ 的对应点 $E$ 恰好落在 $A B$ 边上，则 $C E$ 的长为．

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12. 如图，抛物线 $y = x^{2} + x$ 交 $x$ 轴的负半轴于点 $A$ ，点 $B$ 是 $y$ 轴的正半轴上一点，点 $A$ 关于点 $B$ 的对称点 $A^{'}$ 恰好落在抛物线上．过点 $A^{'}$ 作 $x$ 轴的平行线交抛物线于另一点 $C$ ，则点 $C$ 的坐标为．

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13. 若实数 $a ， b$ 满足 $(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} + \sqrt{b} - 2) = 3$ ，则 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 的值是．

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14. 已知抛物线 $y = m x^{2} - 2 m^{2} x + n (m \neq 0)$ ，经过点 $M (x_{1} ， y_{1}) ， N (x_{2} ， y_{2})$ ．

(1)、若 $x_{1} = 1 ， x_{2} = 3$ 时， $y_{1} = y_{2}$ ，则此抛物线的对称轴为；

(2)、当 $x_{1} + x_{2} > 4$ 且 $x_{1} < x_{2}$ 时，都有 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $m$ 的取值范围为．

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三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15. 解方程： $x (2 x + 4) = 10 + 5 x$ ．

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16. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点 $△ A B C$ （顶点在网格线的交点上）的顶点 $A 、 C$ 的坐标分别为 $A (- 3 ， 5) 、 C (0 ， 3)$

(1)、在网格所在的平面内，请画出平面直角坐标系；

(2)、将 $△ A B C$ 绕着原点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ 得 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

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四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17. “呵护一抹绿色，成就城市清新”．某市为改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，使绿地面积增加 $44 %$ ，求该市这两年平均每年绿地面积的增长率．

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18. 如图，下列图形是由边长为1个单位长度的小正方形按照一定规律摆放的“ $L$ ”形图形，观察图形：

图1 图2 图3

(1)、按此规律，图4中小正方形的数量是个；

(2)、我们把图1中小正方形个数记作 $a_{1}$ ，图2中小正方形图个数记作 $a_{2} ， \cdot \cdot \cdot$ ，图 $n$ 中小正方形个数记作 $a_{n}$ ，若 $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} = 165$ ，求 $n$ 的值．

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五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19. 已知函数 $y = (k - 3) x^{2} + 2 x + 1$ 的图象与 $x$ 轴有交点，求 $k$ 的取值范围．

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20. 已知二次函数 $y = x^{2} + 2 x - 3$ 的图象顶点为 $M$ ．

(1)、请直接写出点 $M$ 的坐标；

(2)、请通过列表描点，画出该二次函数的大致图象；

(3)、当 $- 2 < x < 2$ 时，则 $y$ 的取值范围是．（直接写出结果）

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六、（本题满分12分）

21. 某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件．如果每天要盈利800元，每件应降价多少元．

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七、（本题满分12分）

22. 如图，直线 $y = x - 3$ 与抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 相交于 $A ， B$ 两点，与抛物线的对称轴交于点 $M$ ，且点 $A ， B$ 分別在 $x$ 轴， $y$ 轴上，抛物线的顶点为 $C$ ．

(1)、求抛物线的解析式和点 $M$ 的坐标；

(2)、点 $N$ 是线段 $C M$ 上的动点， $N P ⊥ C M$ 交 $B ， C$ 两点之间的抛物线于点 $P$ ，点 $P$ 的坐标为 $P (x ， n) ， m = M P^{2}$ ．
①求 $N P^{2}$ （用含 $n$ 的代数式表示）；
②求 $m$ 与 $n$ 之间的函数关系式，并求出 $m$ 的最小值．

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八、（本题满分14分）

23. 点 $E 、 F$ 分别是等边三角形 $A B C$ 的边 $A C$ 和 $B C$ 上的点，且 $A E = C F$ ，连接 $E F$ ．

图1 图2

(1)、如图1，若 $A E < E C$ ，将 $E F$ 绕着 $F$ 点顺时针旋转 $60 °$ ，得到 $G F$ ，连接 $C G$ 和 $E G$ ．
求证：① $△ E F G$ 为等边三角形；
② $A B + C G = 2 B F$ ．

(2)、如图2，若 $A B = 2$ ，设 $M$ 为 $E F$ 的中点，连接 $A M ， B M$ ，求 $S_{△ A M B}$ ．

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