广东省清远市清新区2023-2024学年八年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-12-01 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1. 下列数中，无理数的是（　　）

A、π B、 $\sqrt{4}$ C、 $\sqrt[3]{- 8}$ D、3.1415926

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2. 在圆的面积公式S＝πR²中，变量是（　　）

A、S、π、R B、S、R C、π、R D、只有R

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3. 下列函数中，是一次函数的是（）

A、 $y = x^{2} + 2$ B、y=3x+1 C、 $y = k x + b$ D、 $y = \frac{3}{x}$

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4. 点A（﹣1，2）到x轴的距离是（）

A、﹣1 B、1 C、﹣2 D、2

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5. 如图，阴影部分的四边形均为正方形，图中的数据表示其面积，则正方形M的面积为（）

A、1 B、7 C、 $\sqrt{7}$ D、5

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6. 如图，数轴上点A对应的数是0，点C对应的数是-4，BC⊥AC ，垂足为C ，且BC＝1，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D ，则点D表示的数为（）

A、- $\sqrt{17}$ B、 $\sqrt{17}$ C、-4.2 D、-4.5

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7. 两个变量y与x之间的关系如图所示，那么y随x的增大而（）

A、增大 B、减小 C、不变 D、有时增大有时减小

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8. 下列计算正确的是（）

A、 $3 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} = 7$ B、 $\sqrt{27} \div \sqrt{3} = 3$ C、 $\sqrt{4 \frac{1}{3}} = 2 \sqrt{\frac{1}{3}}$ D、 $3 \sqrt{3} \times 3 \sqrt{2} = 3 \sqrt{6}$

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9. 下列语句正确的是（）

A、a的平方根是 $\sqrt{a}$ （a≥0） B、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 C、同旁内角互补 D、若ab＝0，则点P（a ， b）在坐标原点

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10. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为a ， b（a＞b），大正方形的面积为S₁ ，小正方形的面积为S₂ ，则用含S₁ ， S₂的代数式表示（a+b）²正确的是（）

A、S₁ B、S₂ C、2S₁-S₂ D、2S₂-S₁

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二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11. 25的平方根是 .

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12. 比较大小： $2 \sqrt{3}$ $3 \sqrt{2}$ ．（填“＞、＜、或=”）

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13. 已知 ${\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$ 是方程组 ${\begin{cases} a x + y = - 1 \\ 2 x - b y = 0 \end{cases}$ 的解，则a+b＝．

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14. 定义新运算※，对于任意实数a ， b都有a※b＝a²+ab ，如果3※4＝3²+3×4＝9+12＝21，那么方程x※5＝0的解为．

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15. 如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，3）和（4，0），点C是y轴上的一个动点，当|BC-AC|最大时，点C的坐标是．

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三、解答题（共8小题，满分75分）

16. 小明和同桌小聪在课后复习时，对练习册“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真地探索．（思考题）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？

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17. 计算

(1)、 $\frac{1}{2} \sqrt{20} - \sqrt{45} + 5 \sqrt{\frac{1}{5}}$ ；

(2)、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} + \frac{\sqrt{48} - \sqrt{12}}{\sqrt{2}}$ ．

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18.
⑴如图4×4的方格，每个小格的顶点叫做格点，若每个小正方形边长为1单位，请在方格中作一个正方形，同时满足下列两个条件：
①所作的正方形的顶点，必须在方格上；
②所作正方形的面积为8个平方单位
⑵在数轴上表示实数 $\sqrt{8}$ （保留作图痕迹）

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19. 已知 $a = 3 + 2 \sqrt{2}$ ， $b = 3 - 2 \sqrt{2}$ ，分别求下列代数式的值：

(1)、a²-b²；

(2)、a²-2ab+b² ．

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20. 如图，销售某产品，l₁表示一天的销售收入y₁（万元）与销售量x（件）的关系l₂表示一天的销售成本y₂（万元）与销售量x的关系．

(1)、y₁与x的函数关系式；y₂与x的函数关系式；

(2)、每天的销售量达到多少件时，每天的利润达到18万元？

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21. 综合与实践
问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯AB ，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离BC＝7m ， ∠DCE＝90°．

(1)、独立思考：
这架云梯顶端距地面的距离AC有多高？

(2)、深入探究：
消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到A′位置上（云梯长度不改变），AA′＝4m ，那么它的底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′也是4m吗？若是，请说明理由；若不是，请求出BB′的长度．

(3)、问题解决：
在演练中，高24.3m的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的 $\frac{1}{5}$ ，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24.3m高的墙头去救援被困人员？

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22. 已知，正六边形ABCDEF ，边长为6，G点以每秒为1的速度从A→B→C→D→E上运动，不与E点重合，同时，点H以同样的速度从B→C→D→E→F上运动，不与F点重合，连接GF、AH交于点I；

(1)、求∠E的度数．

(2)、如图1，IJ是∠FIH的角平分线，过F点作IJ的垂线，垂足为J ，当FI是∠AFJ的角平分线时，求证AI＝IJ ．

(3)、如图2，过B点作FG的平行线，交直线AH于点L ，当G在运动的过程中，写出FI、AL、AI之间的数量关系，并给出证明．

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23. 学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为等面积法．

(1)、【学有所用】如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC ，其一腰上的高BD为h ， M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC的距离ME、MF分别为h₁、h₂ ，小明发现，通过连接AM ，将△ABC的面积转化为△ABM和△ACM的面积之和，建立等量关系，便可证明h₁+h₂＝h ，请你结合图形来证明：h₁+h₂＝h；

(2)、【尝试提升】如图2，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB边上一点，使BD＝CD ，过BC上一点P ，作PE⊥AB ，垂足为点E ，作PF⊥CD ，垂足为点F ，已知AB＝6 $\sqrt{2}$ ， BC＝6 $\sqrt{3}$ ，求PE+PF的长．

(3)、【拓展迁移】如图3，在平面直角坐标系中有两条直线l₁：y＝- $\frac{5}{12}$ x-5，l₂：y＝5x-5，若l₂上的一点M到l₁的距离是2，求 $\frac{B M}{C M}$ 的值．

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