天津市五区重点校联考2023-2024学年高一上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-12-01 类型：期中考试

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一、选择题（本题共9小题，每题4分，共36分）

1. 已知集合 $U = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $A = {x \in Z | - 2 \leq x < 0}$ ， $B = {x \in N | - 1 \leq x \leq 1}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 设命题 $p ： \forall n \in [1 ， 2] ， n^{2} < 3 n + 4$ ，则 $p$ 的否定为（）

A、 $\forall n \notin [1 ， 2] ， n^{2} \geq 3 n + 4$ B、 $\forall n \in [1 ， 2] ， n^{2} \geq 3 n + 4$ C、 $\exists n_{0} \notin [1 ， 2] ， {n_{0}}^{2} \geq 3 n_{0} + 4$ D、 $\exists n_{0} \in [1 ， 2] ， {n_{0}}^{2} \geq 3 n_{0} + 4$

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3. 已知条件 $p ： x^{2}$ 是有理数，条件 $q ： x$ 是有理数，则 $p$ 是 $q$ 的

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 如图所示函数图象的表达式可以是（）

A、 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{| x |}$ B、 $f (x) = \frac{1 - x^{2}}{| x |}$ C、 $f (x) = \frac{| x | - 1}{x^{2}}$ D、 $f (x) = \frac{1 - | x |}{x^{2}}$

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5. 对于实数 $a ， b ， c ，$ 下列说法正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ C、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ D、若 $c > a > b$ ，则 $\frac{a}{c - a} > \frac{b}{c - b}$

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6. 若命题“ $\exists x \in [- 1 ， 1] ， x^{2} - 4 x - 2 m + 1 > 0$ ”为假命题，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[3 ， + \infty)$ B、 $[- \frac{3}{2} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - \frac{3}{2}]$ D、 $[- \frac{3}{2} ， 3]$

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7. 已知函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 且 $x_{1} ， x_{2} \in (2 ， + \infty)$ 时， $[f (x_{2}) - f (x_{1})] \cdot (x_{2} - x_{1}) < 0$ 恒成立，设 $a = f (- 1)$ ， $b = f (0)$ ， $c = f (3)$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $b > c > a$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $c > b > a$

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8. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 2 a x ， x < 2 \\ (6 - a) x + 2 ， x \geq 2 \end{array}$ 是R上的增函数，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[2 ， 3)$ B、 $[2 ， 3]$ C、 $[2 ， 6)$ D、 $[2 ， 6]$

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9. 定义在R上的奇函数 $f (x)$ 对任意 $0 < x_{1} < x_{2}$ 都有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 1$ ，若 $f (1) = 1$ ，则不等式 $f (x) - x > 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty ， - 1) ∪ (1 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 0) ∪ (1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1) ∪ (0 ， 1)$ D、 $(- 1 ， 0) ∪ (0 ， 1)$

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二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分）

10. 已知函数 $f (x) = (m^{2} + 2 m - 2) x^{m}$ 是幂函数，且在 $(0 ， + ∞)$ 上是减函数，则实数 $m$ 的值为．

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11. 函数 $f (x) = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x}$ 的定义域为．

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12. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + 2 b = 2$ ，则 $\frac{b + a^{2}}{a b}$ 的最小值为．

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13. $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + x$ ．则 $x < 0$ 时， $f (x) =$ ；不等式 $f (2 x + 1) + f (- 5) > 0$ 的解集是．

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14. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，满足 $f (x + 2) = 2 f (x)$ ，且当 $x \in (0 ， 2]$ 时， $f (x) = x (x - 2)$ ．若对任意 $x \in (- \infty ， m]$ ，都有 $f (x) \geq - 3$ ，则 $m$ 的最大值为．

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三、解答题（本题共5小题，共59分）

15. 设全集是 $R$ ，集合 $A = {x ∣ x < - 2$ 或 $x > 3}$ ， $B = {x | 1 - a < x < a + 3}$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $(∁_{R} A) ∪ B$ ；

(2)、已知 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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16. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} - 1 ， g (x) = {\begin{array}{l} 2 x - 1 ， x \geq 0 \\ 2 - x ， x < 0 \end{array}$ ．

(1)、求 $g (x)$ 的值域；

(2)、求 $f (g (x))$ 的表达式；

(3)、解不等式 $f (x) > g (x)$ ．

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17. 设 $f (x) = a x^{2} + (2 - a) x + a$

(1)、若不等式 $f (x) \geq 1$ 对一切实数 $x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) < a + 2 (a \in R)$ .

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18. 2023年9月23日至10月8日第19届亚运会在中国杭州举行。亚运会吉祥物：宸宸、琮琮和莲莲的“江南忆组合”深受人们喜爱．某厂家经过市场调查，可知生产“江南忆组合”小玩具需投入的年固定成本为6万元，每生产 $x$ 万套该产品，需另投入变动成本 $W (x)$ 万元，在年产量不足12万套时， $W (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 4 x$ ，在年产量不小于12万套时， $W (x) = 11 x + \frac{100}{x} - 39$ ．每套产品售价为10元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．

(1)、写出年利润 $L (x)$ (万元)关于年产量 $x$ (万套)的函数解析式．（注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本）

(2)、年产量为多少万套时，年利润最大？最大年利润是多少？

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 4}$ 是定义在 $[- 2 ， 2]$ 上的奇函数，且 $f (- 2) = - \frac{1}{4}$ .

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、用定义法证明函数 $f (x)$ 在 $[- 2 ， 2]$ 上的单调性；

(3)、若 $f (x) \leq m^{2} - m t - \frac{11}{4}$ 对于任意的 $x \in [- 2 ， 2]$ ， $t \in [- 2 ， 2]$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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