上海市静安区2023-2024学年高一上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-12-01 类型：期中考试

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一、填空题（每空4分，共40分）

1. 集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ，则集合A共有个子集．

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2. 不等式 $x + \sqrt{x - 3} > 2 + \sqrt{3 - x}$ 的解集是.

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3. 函数 $f (x) = a^{x + 2} - 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）经过与 $a$ 无关的定点．

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4. 函数 $f (x) = l o g_{2 x - 1} (4 - x)$ 的定义域是.

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5. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义在 $ℝ$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} + x$ ，那么当 $x < 0$ 时， $f (x) =$ .

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6. 若 $f (x) = l g (x^{2} - 2 x + t)$ 的值域为 $ℝ$ ，则 $t$ 的取值范围是．

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7. 函数 $y = \frac{x + 1}{x - b}$ 的图像关于点 $(2 ， c)$ 中心对称，则 $b c =$ ．

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8. 已知 $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ ，方程 $| f (x) | = m$ 有4个实数解，则 $m$ 的取值范围是．

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9. 已知：函数 $f (x) = x + \frac{t}{x}$ ， $x \in [1 ， 2]$ 的最小值 $m$ 是关于 $t$ 的函数，记为 $m (t)$ ，则 $m (t) =$ ．

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10. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$ ，若对任意正数 $a ， b$ ，均有 $f (a) + f (3 b - 2) = 0$ 成立，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为.

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二、选择题（每题4分，共16分）

11. 已知：一元二次不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(- 3 ， 2)$ ，则不等式 $c x^{2} + b x + a > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \frac{1}{3} ， \frac{1}{2})$ B、 $(- \infty ， - \frac{1}{3}) ∪ (\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(- \frac{1}{3} ， 0) ∪ (0 ， \frac{1}{2})$ D、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}) ∪ (\frac{1}{3} ， + \infty)$

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12. 已知命题：“非空集合 $M$ 的元素都是集合 $P$ 的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（）
① $M$ 中的元素都不是 $P$ 的元素；② $M$ 中有不属于 $P$ 的元素；
③ $M$ 中有 $P$ 的元素；④ $M$ 中的元素不都是 $P$ 的元素．

A、1 B、2 C、3 D、4

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13. 已知：奇函数 $y = f (x)$ ， $x \in ℝ$ 在 $(0 ， + \infty)$ 严格递减，则下列结论正确的是（）

A、 $y = f (x)$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 严格递减 B、 $y = f (x)$ 在 $(- \infty ， 0]$ 上严格递减 C、 $y = f (x)$ 在 $[a ， a + 1] (a \geq 0)$ 上严格递减 D、 $y = f (x)$ 在 $[2 a ， a - 1]$ 上严格递减

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14. 设 $f (x) = {\begin{cases} 3^{- x} x < 0 \\ f (x - 1) x \geq 0 \end{cases}$ ，若 $f (x) = x + a$ 有且仅有三个解，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(- \infty ， 2)$

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三、解答题（15、16、17每题8分，18、19每题10分，共44分）

15. 解关于 $x$ 的不等式： $x^{2} - (2 a + 2) x + 4 a > 0$ ．

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16.

(1)、利用定义证明：函数 $f (x) = x^{3} + x - 3$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上单调递增．

(2)、求方程 $x^{3} + x - 3 = 0$ 的实数解（精确到0.1）.

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17. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为2， $E$ 为边 $A B$ 上的一点， $E B = a (0 < a < 2)$ ， $F$ 为线段 $E D$ 上的一点， $F G ⊥ B C$ ，垂足为 $G$ ， $F H ⊥ C D$ ，垂足为 $H$ ．

(1)、设 $F G = x$ ，试将矩形 $F G C H$ 的面积 $S$ 表示成关于 $x$ 的函数；

(2)、求矩形 $F G C H$ 的面积 $S$ 的最大值．

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18. 已知定义在实数集 $ℝ$ 上的偶函数 $y = f (x)$ 和奇函数 $y = g (x)$ 满足 $f (x) + g (x) = 2^{x + 1}$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的解析式；

(2)、设： $h (x) = x^{2} + 2 m x + m^{2} - m + 1$ （其中 $m$ 为常数），若： $h [g (x)] \geq m^{2} - m - 2$ 对于 $x \in [1 ， 3]$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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19. 在区间 $D$ 上，若函数 $y = f (x)$ 为增函数，而函数 $y = \frac{f (x)}{x}$ 为减函数，则称函数 $y = f (x)$ 为“弱增函数”．已知函数 $f (x) = 1 - \frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ ．

(1)、判断 $y = f (x)$ 在区间 $(0 ， 1]$ 上是否为“弱增函数”；

(2)、设 $x_{1} ， x_{2} \in [0 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，证明： $| f (x_{2}) - f (x_{1}) | < \frac{1}{2} | x_{1} - x_{2} |$ ；

(3)、当 $x \in [0 ， 1]$ 时，不等式 $1 - a x \leq \frac{1}{\sqrt{1 + x}} \leq 1 - b x$ 恒成立，求实数 $a ， b$ 的取值范围．

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