吉林省长春市农安县2023-2024学年高二上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-12-01 类型：期中考试

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一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分。

1. 点 $(1 ， 1)$ 到直线 $x + y - 1 = 0$ 的距离为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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2. 若直线 $l$ 的一个方向向量为 $(- 1 ， \sqrt{3})$ ，则它的倾斜角为（）

A、 $30 °$ B、 $120 °$ C、 $60 °$ D、 $150 °$

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3. 在下列条件中，一定能使空间中的四点 $M ， A ， B ， C$ 共面的是（）

A、 $\vec{O M} = 2 \vec{O A} - \vec{O B} - \vec{O C}$ B、 $\vec{O M} = \frac{1}{5} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$ C、 $\vec{M A} + 2 \vec{M B} + \vec{M C} = \vec{0}$ D、 $\vec{O M} + \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$

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4. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1$ 上一点A到焦点F₁的距离为2，B为AF₁的中点，O是坐标原点，则|OB|的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 已知空间四边形 $A B C D$ 的每条边和对角线的长都等于 $a$ ，点 $E ， F$ 分别是 $B C ， A D$ 的中点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的值为（）

A、 $a^{2}$ B、 $\frac{1}{2} a^{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$ D、 $\frac{1}{4} a^{2}$

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6. 由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、 $y = \pm x$ D、 $y = \pm 2 x$

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7. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C A = 4 \sqrt{2} ， C B = 4 ， ∠ B C A = 90 ° ， M$ 是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，以 $C$ 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，若 $A_{1} B ⊥ C B_{1}$ ，则异面直线 $C M$ 与 $A_{1} B$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{7}}{14}$ B、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ C、 $\frac{7 \sqrt{3}}{14}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{7}$

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8. 已知点 $A ， B$ 在双曲线 $x^{2} - y^{2} = 4$ 上，线段 $A B$ 的中点为 $M (3 ， 1)$ ，则 $| A B | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选择项中，有多项符和题目要求。全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 以下命题正确的是（）

A、直线l的方向向量为 $\vec{a} = (1 ， - 1 ， 2)$ ，直线m的方向向量 $\vec{b} = (1 ， 2 ， 1)$ ，则 $l ⊥ m$ B、直线l的方向向量 $\vec{a} = (0 ， 1 ， - 1)$ ，平面 $α$ 的法向量 $\vec{n} = (1 ， - 1 ， - 1)$ ，则 $l ⊥ α$ C、两个不同平面 $α$ ， $β$ 的法向量分别为 $\vec{n_{1}} = (2 ， - 1 ， 0)$ ， $\vec{n_{2}} = (- 4 ， 2 ， 0)$ ，则 $α / / β$ D、平面 $α$ 经过三点 $A (1 ， 0 ， - 1)$ ， $B (0 ， 1 ， 0)$ ， $C (- 1 ， 2 ， 0)$ ，向量 $\vec{n} = (1 ， u ， t)$ 是平面 $α$ 的法向量，则 $u + t = 1$

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10. 已知方程 $\frac{x^{2}}{4 - t} + \frac{y^{2}}{t - 1} = 1$ 表示的曲线为 $C$ 则以下四个判断正确的为（）

A、当 $1 < t < 4$ 时，曲线 $C$ 表示椭圆 B、当 $t > 4$ 或 $t < 1$ 时，曲线 $C$ 表示双曲线 C、若曲线 $C$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则 $1 < t < \frac{5}{2}$ D、若曲线 $C$ 表示焦点在 $y$ 轴上的双曲线，则 $t > 4$

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11. 若双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的实轴长为6，焦距为10，右焦点为 $F$ ，则下列结论正确的是（）

A、双曲线渐近线上的点到 $F$ 距离的最小值为4 B、离心率为 $\frac{5}{4}$ C、双曲线上的点到 $F$ 距离的最小值为2 D、过 $F$ 的最短的弦长为 $\frac{32}{3}$

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12. 设圆： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 2 = 0$ 的圆心为 $C ， P (5 ， 1)$ 为圆外一点，过 $P$ 作圆 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A ， B$ ，则（）

A、 $| P A | = | P B | = 2 \sqrt{3}$ B、 $P ， A ， C ， B$ 四点共圆 C、 $∠ A P B = 30 °$ D、直线 $A B$ 的方程为： $x = 2$

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三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。

13. 两圆 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 与 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 16$ 的公切线有条．

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14. 双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的两个焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ，点 $P$ 在双曲线上，若 ${\vec{P F}}_{1} \cdot {\vec{P F}}_{2} = 0$ ，则点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为．

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15. 椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的左、右顶点分别为 $A 、 B 、 P$ 为椭圆上任意一点，则直线 $P A$ 和直线 $P B$ 的斜率之积等于．

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16. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = A A_{1} = 1 ， A B = 2$ ，点 $E$ 为 $A B$ 的中点，则点 $B$ 到平面 $D_{1} E C$ 的距离为．

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四、解答题：共6小题，共70分。

17. 已知空间四边形 $O A B C$ 中， $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ A O C$ ，且 $O A = O B = O C ， M ， N$ 分别是 $O A ， B C$ 的中点， $G$ 是 $M N$ 的中点，用向量方法证明 $O G ⊥ B C$ ．

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18. 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：

(1)、斜率是 $- \frac{1}{2}$ ，经过点 $A (8 ， - 2)$ ；

(2)、经过点 $B (4 ， 2)$ ，平行于 $x$ 轴；

(3)、在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距分别是 $\frac{3}{2} ， - 3$ ；

(4)、经过两点 $P_{1} (3 ， - 2) 、 P_{2} (5 ， - 4)$ ．

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19. 已知圆C过平面内三点 $A (0 ， 4)$ 、 $D (2 ， 2 \sqrt{5})$ 、 $E (2 ， - 2 \sqrt{5})$ ，

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、若点B也在圆C上，且弦 $A B$ 长为8，求直线 $A B$ 的方程；

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20. 已知 $△ A B C$ 的两个顶点 $A ， B$ 分别为椭圆 $x^{2} + 5 y^{2} = 5$ 的左焦点和右焦点，且三个内角 $A ， B ， C$ 满足关系式 $s i n B - s i n A = \frac{1}{2} s i n C$ ．

(1)、求线段 $A B$ 的长度；

(2)、求顶点 $C$ 的轨迹方程．

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $∠ A B C = 45 °$ ， $M$ ， $N$ 分别是棱 $B C$ ， $P C$ 的中点，且 $A B = A C = P A$ .

(1)、证明：平面 $A M N ⊥$ 平面 $P A D$ .

(2)、求平面 $A M N$ 与平面 $P A B$ 所成二面角的正弦值.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(1 ， \frac{3}{2})$ ，且长轴长等于4．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点，圆 $O$ 是以 $| F_{1} F_{2} |$ 为直径的圆，直线 $l ： y = k x + m$ 与圆 $O$ 相切，并与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $A ， B$ ，若 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - \frac{3}{2}$ ，求 $k$ 的值．

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