吉林省长春市名校2023-2024学年高二上学期数学期中试卷
试卷更新日期:2023-12-01 类型:期中考试
一、单选题(每题5分)
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1. 若直线的一个方向向量为 , 则该直线的倾斜角大小为( )A、 B、 C、 D、
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2. 直线与直线平行,则实数的值为( )A、 B、 C、2 D、2或
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3. 2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步,神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务,为国家实验室的全面建成贡献了力量.假设神舟十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆(如图中虚线所示),我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离,最远距离叫远地距离.设地球半径为 , 若神舟十六号飞行轨道的近地距离为 , 远地距离为 , 则神舟十六号的飞行轨道的离心率为( )A、 B、 C、 D、
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4. 是双曲线上一点,点分别是双曲线左右焦点,若 , 则( )A、9或1 B、1 C、9 D、9或2
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5. 空间直角坐标系中,经过点 , 且法向量为的平面方程为 , 经过点且一个方向向量为的直线的方程为 , 阅读上面的内容并解决下面问题:现给出平面的方程为 , 经过的直线的方程为 , 则直线与平面所成角的正弦值为( )A、 B、 C、 D、
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6. 已知椭圆以及椭圆内一点 , 则以为中点的弦所在直线的斜率为( )A、 B、 C、 D、4
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7. 如图,在棱长为2的正方体中,为的中点,点在线段上,点到直线的距离的最小值为( )A、 B、 C、 D、
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8. 在平面直角坐标系中,点 , 若直线上存在点 , 使得 , 则的取值范围为( )A、 B、 C、 D、
二、多选题(每题5分)
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9. 已知椭圆 , 是椭圆的左右焦点,为椭圆上任意一点.下列说法中正确的是( )A、椭圆离心率为 B、的最大值为3 C、 D、
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10. 已知圆和点 , 则过点的圆的切线方程为( )A、 B、 C、 D、
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11. 平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线(Cassinioval).在平面直角坐标系中, , 动点满足 , 其轨迹为曲线 , 则( )A、曲线的方程为 B、曲线关于原点对称 C、面积的最大值为2 D、的取值范围为
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12. 已知圆 , 点是直线上一动点,过点作圆的切线 , , 切点分别是和 , 则下列说法错误的是( )A、圆上恰有一个点到直线的距离为 B、切线长的最小值为 C、四边形面积的最小值为2 D、直线恒过定点
三、填空题(每题5分)
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13. 椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点,则椭圆的离心率等于 .
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14. 点关于直线对称的点的坐标为 .
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15. 已知点M(1,0)是圆C: 内的一点,那么过点M的最短弦所在的直线方程是 .
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16. 已知点在椭圆上运动,点在圆上运动,则的最小值为 .
四、解答题
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17. 已知双曲线()的实轴长为2,右焦点为 .(1)、求双曲线的方程;(2)、已知直线与双曲线交于不同的两点 , 求 .
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18. 如图,在正方体中,分别是的中点.(1)、求异面直线与所成角的余弦值;(2)、求点到平面的距离.
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19. 设直线及直线外一点 .(1)、写出点到直线的距离公式;(2)、求证点到直线的距离公式.
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20. 已知两圆和 .(1)、求两圆的公共弦所在直线的方程;(2)、求过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程.
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21. 如图,四棱锥的底面是等腰梯形, , 底面为棱上的一点.(1)、证明:;(2)、若二面角的余弦值为 , 求的值.
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22. 已知点在椭圆()上,设点为的短轴的上、下顶点,点是椭圆上任意一点,且的斜率之积为 .(1)、求的方程;(2)、过的两焦点作两条相互平行的直线交于和 , 求四边形面积的取值范围.