吉林省长春市名校2023-2024学年高二上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-12-01 类型：期中考试

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一、单选题（每题5分）

1. 若直线 $l$ 的一个方向向量为 $\vec{v} = (- 3 ， \sqrt{3})$ ，则该直线的倾斜角大小为（）

A、 $60 °$ B、 $30 °$ C、 $150 °$ D、 $120 °$

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2. 直线 $(a + 1) x + 3 y + 3 = 0$ 与直线 $x + (a - 1) y + 1 = 0$ 平行，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、2或 $- 2$

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3. 2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神舟十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为 $R$ ，若神舟十六号飞行轨道的近地距离为 $\frac{R}{30}$ ，远地距离为 $\frac{R}{20}$ ，则神舟十六号的飞行轨道的离心率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{125}$ C、 $\frac{1}{120}$ D、 $\frac{1}{125}$

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4. $M$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 上一点，点 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线左右焦点，若 $| M F_{1} | = 5$ ，则 $| M F_{2} | =$ （）

A、9或1 B、1 C、9 D、9或2

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5. 空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，经过点 $P (x_{0} ， y_{0} ， z_{0})$ ，且法向量为 $\vec{m} = (A ， B ， C)$ 的平面方程为 $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$ ，经过点 $P (x_{0} ， y_{0} ， z_{0})$ 且一个方向向量为 $\vec{n} = (a ， b ， c) (a b c \neq 0)$ 的直线 $l$ 的方程为 $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ ，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面 $α$ 的方程为 $2 x - 7 y + z - 4 = 0$ ，经过 $(0 ， 0 ， 0)$ 的直线 $l$ 的方程为 $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{- 1}$ ，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{14}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{6}$

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6. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ 以及椭圆内一点 $P (1 ， 2)$ ，则以 $P$ 为中点的弦所在直线的斜率为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- 4$ D、4

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7. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $B C$ 的中点，点 $P$ 在线段 $D_{1} E$ 上，点 $P$ 到直线 $C C_{1}$ 的距离的最小值为（）

A、 $\frac{2}{5} \sqrt{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ D、 $\frac{3}{10} \sqrt{5}$

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8. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (0 ， 3)$ ，若直线 $l ： y = k x + 3$ 上存在点 $M$ ，使得 $| M A | = 2 | M O |$ ，则 $k$ 的取值范围为（）

A、 $[- \sqrt{3} ， \sqrt{3}]$ B、 $(- \infty ， - \sqrt{3}] ∪ [\sqrt{3} ， + \infty)$ C、 $[- \frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$ D、 $(- \infty ， - \frac{\sqrt{3}}{3}] ∪ [\frac{\sqrt{3}}{3} ， + \infty)$

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二、多选题（每题5分）

9. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ， $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆的左右焦点， $P$ 为椭圆上任意一点．下列说法中正确的是（）

A、椭圆离心率为 $\frac{1}{2}$ B、 $| P F_{1} |$ 的最大值为3 C、 $0 \leq ∠ F_{1} P F_{2} \leq \frac{π}{3}$ D、 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 2$

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10. 已知圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 和点 $A (2 ， - 1)$ ，则过点 $A$ 的圆的切线方程为（）

A、 $4 x - 3 y - 11 = 0$ B、 $4 x + 3 y - 11 = 0$ C、 $3 x - 4 y - 10 = 0$ D、 $x = 2$

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11. 平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cassinioval）．在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $F (- 1 ， 0) ， F (1 ， 0)$ ，动点 $P$ 满足 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | = 4$ ，其轨迹为曲线 $C$ ，则（）

A、曲线 $C$ 的方程为 $y^{2} = 2 \sqrt{x^{2} + 4} - x^{2} - 1$ B、曲线 $C$ 关于原点对称 C、 $△ F_{1} P F_{2}$ 面积的最大值为2 D、 $| O P |$ 的取值范围为 $[\sqrt{3} ， \sqrt{5}]$

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12. 已知圆 $C ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ ，点 $P$ 是直线 $l ： x + y = 0$ 上一动点，过点 $P$ 作圆 $C$ 的切线 $P A$ ， $P B$ ，切点分别是 $A$ 和 $B$ ，则下列说法错误的是（）

A、圆 $C$ 上恰有一个点到直线 $l$ 的距离为 $\frac{1}{2}$ B、切线长 $| P A |$ 的最小值为 $\sqrt{2}$ C、四边形 $A C B P$ 面积的最小值为2 D、直线 $A B$ 恒过定点 $(\frac{3}{2} ， - \frac{1}{2})$

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三、填空题（每题5分）

13. 椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的离心率等于．

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14. 点 $(1 ， 2)$ 关于直线 $2 x - 3 y - 9 = 0$ 对称的点的坐标为．

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15. 已知点M（1，0）是圆C： $x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y = 0$ 内的一点，那么过点M的最短弦所在的直线方程是．

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16. 已知点 $P$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上运动，点 $Q$ 在圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = \frac{5}{8}$ 上运动，则 $| P Q |$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 已知双曲线 $C ： \frac{x}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0 ， b > 0$ ）的实轴长为2，右焦点为 $(\sqrt{5} ， 0)$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、已知直线 $y = x + 2$ 与双曲线 $C$ 交于不同的两点 $A ， B$ ，求 $| A B |$ ．

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18. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 ， E ， F$ 分别是 $B D ， B_{1} C$ 的中点．

(1)、求异面直线 $A_{1} E$ 与 $B F$ 所成角的余弦值；

(2)、求点 $A_{1}$ 到平面 $B D F$ 的距离．

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19. 设直线 $l ： A x + B y + C = 0$ 及直线外一点 $P (x_{0} ， y_{0})$ ．

(1)、写出点 $P$ 到直线 $l$ 的距离公式；

(2)、求证点到直线的距离公式．

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20. 已知两圆 $M ： x^{2} + y^{2} = 10$ 和 $N ： x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y - 14 = 0$ ．

(1)、求两圆的公共弦所在直线的方程；

(2)、求过两圆交点且圆心在直线 $x + 2 y - 3 = 0$ 上的圆的方程．

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21. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是等腰梯形， $A D / / B C ， B C = 2 A B = 2 A D = 2$ ， $P C = \sqrt{3} ， P C ⊥$ 底面 $A B C D ， M$ 为棱 $A P$ 上的一点．

(1)、证明： $A B ⊥ C M$ ；

(2)、若二面角 $A - D C - M$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{17}}{17}$ ，求 $\frac{P M}{P A}$ 的值．

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22. 已知点 $(- 2 ， 0)$ 在椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）上，设点 $A ， B$ 为 $C$ 的短轴的上、下顶点，点 $T$ 是椭圆上任意一点，且 $T A ， T B$ 的斜率之积为 $- \frac{3}{4}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过 $C$ 的两焦点 $F_{1} 、 F_{2}$ 作两条相互平行的直线 $l_{1} ， l_{2}$ 交 $C$ 于 $M ， N$ 和 $P ， Q$ ，求四边形 $P Q N M$ 面积的取值范围．

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