河北省石家庄市名校联考2023-2024学年高三上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-12-01 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若集合 $A = {x | x_{}^{2} - 5 x \leq 0}$ ， $B = {x | y = 1 n (x - 7)}$ ，则 $(C_{R}^{} A) \cap B$ =（）

A、 B、 $(0 ， 5)$ C、 $(7 ， + \infty)$ D、 $(5 ， + \infty)$

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2. 设复数 $z = \frac{2 - i}{1 + i}$ ，则 $z \cdot \bar{z}$ =（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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3. 已知圆锥的底面半径为2，高为 $4 \sqrt[]{2}$ ，则该圆锥的侧面积为（）

A、 $4 π$ B、 $12 π$ C、 $16 π$ D、 $\frac{16 \sqrt{2}}{3} π$

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4. 已知 $\overset{\leftrightarrow}{a} ， \overset{\leftrightarrow}{b}$ 是单位向量，若 $\overset{\leftrightarrow}{a} ⊥ (\overset{\leftrightarrow}{a} + 3 \overset{\leftrightarrow}{b})$ ，则 $\overset{\leftrightarrow}{a}$ 在 $\overset{\leftrightarrow}{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{3} \overset{\leftrightarrow}{a}$ B、 $- \frac{1}{3} \overset{\leftrightarrow}{a}$ C、 $\frac{1}{3} \overset{\leftrightarrow}{b}$ D、 $- \frac{1}{3} \overset{\leftrightarrow}{b}$

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5. 定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (x) + 2$ ，则下列是周期函数的是（）

A、 $y = f (x) - x$ B、 $y = f (x) + x$ C、 $y = f (x) - 2 x$ D、 $y = f (x) + 2 x$

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6. 已知圆 $C ： x_{}^{2} - 6 x + y_{}^{2} + 5 = 0$ ， $P ， Q$ 是圆上的两点，O为坐标原点，且 $\overset{\leftrightarrow}{O P} = λ \overset{\leftrightarrow}{P Q}$ ，则 $\overset{\leftrightarrow}{O P} \cdot \overset{\leftrightarrow}{O Q}$ 的值为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{5}$ C、10 D、5

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7. 小明先后投掷两枚骰子，已知有一次投掷时朝上的点数为偶数，则两次投掷时至少有一次朝上的点数为4的概率为（）

A、 $\frac{11}{36}$ B、 $\frac{11}{27}$ C、 $\frac{10}{27}$ D、 $\frac{17}{36}$

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8. 人教A版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线，现将函数 $y = 3 x + \frac{1}{x}$ 的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C ，则该双曲线C的离心率是（）

A、 $3 + \sqrt{10}$ B、 $20 - 6 \sqrt{10}$ C、 $\sqrt{3 + \sqrt{10}}$ D、 $\sqrt{20 - 6 \sqrt{10}}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 下列结论中正确的是（）

A、“ $\exists x_{0}^{} \in R ， 2_{}^{x_{0}^{}} > x_{0}^{2}$ ”的否定为“ $\forall x \in R$ ， $2_{}^{x} \leq x_{}^{2}$ ” B、设 $α ， β$ 是两个不同的平面，m是直线且 $m \subset α$ ，则“ $m ⊥ β$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的充要条件 C、若随机变量X服从正态分布 $N (10 ， σ_{}^{2})$ ，则 $P (x \leq 7) < P (x \geq 13)$ D、对具有线性相关关系的变量x，y ，其线性回归方程为 $\hat{y} = 2 x - m$ ，若样本的中心为 $(m ， 2)$ ，则实数m的值是2

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10. 将函数 $f (x) = s i n ω x + \sqrt{3} c o s ω x (ω > 0)$ 图象上点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，然后将所得图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到函数 $g (x) = 2 s i n (2 x + ϕ) (| ϕ | < \frac{π}{2})$ 的图象．则下列结论中正确的是（）

A、 $f (x) = 2 s i n (x + \frac{π}{3})$ B、 $ϕ = - \frac{π}{3}$ C、 $g (x)$ 的单调递增区间为 $[k π + \frac{π}{6} ， k π + \frac{7 π}{6}]$ $(k \in Z)$ D、 $x = - \frac{π}{12}$ 为 $g (x)$ 图象的一条对称轴

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11. 已知函数 $f (x) = e_{}^{x} - e_{}^{- x} + x_{}^{3} - α x$ ，则下列结论中正确的是（）

A、当 $a = 0$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在 $(0 ， 0)$ 处的切线方程为 $y = x$ B、 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上的最大值与最小值之和为0 C、若 $f (x)$ 在R上为增函数，则a的取值范围为（ $- \infty$ ， 2] D、 $f (x)$ 在R上至多有3个零点

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12. 如图，有一只青蛙在正方形池塘的顶点ABCD之间跳跃，假设青蛙它跳向相邻顶点的概率为 $\frac{1}{4}$ ，跳向不相邻顶点的概率为 $\frac{1}{2}$ ，若青蛙一开始位于顶点A处，记青蛙跳跃n次后仍位于顶点A上的概率为 $P_{n}^{}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、青蛙跳跃2次后位于B点的概率共 $\frac{1}{4}$ B、数列 ${P_{n}^{} - \frac{1}{4}}$ 是等比数列 C、青蛙跳动奇数次后只能位于点A的概率始终小于 $\frac{1}{4}$ D、存在整数 $n \in N_{}^{*}$ ，使得青蛙跳动n次后位于C点和D点的概率相等

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知抛物线 $x_{}^{2} = 2 p y$ 上一点 $A (x_{0}^{} ， 2)$ 到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍，则p=.

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14. 设等差数列 ${a_{n}^{}}$ 的前n项和为 $S_{n}^{}$ ，公差 $d > 0$ ， $S_{5}^{} = S_{9}^{}$ ，则当 $S_{n}^{}$ 取最小值时，n=.

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15. 米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行的必备的用具。为使坚固耐用，米斗多用上好的木料制成。米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品。如图的米斗可以看作一个正四棱台，已知该米斗的侧棱长为10，两个底边长分别为8和6，则该米斗的外接球的表面积是.

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16. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $3 a + b = 1$ ，不等式 $3 a_{}^{2} + b - m a b + 2 > 0$ 恒成立，则m的取值范围为.

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四、解答题。本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 已知等差数列 ${a_{n}^{}}$ 公差为2，且 $a_{1}^{} ， a_{2}^{} ， a_{4}^{}$ 恰为等比数列 ${b_{n}^{}}$ 的前三项．

(1)、求数列 ${b_{n}^{}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${c_{n}^{}}$ 满足 $c_{n}^{} = a_{n}^{} + (- 1)_{}^{n} \cdot b_{n}^{}$ ，求 ${c_{n}^{}}$ 的前n项和 $S_{n}^{}$ .

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18. 在 $Δ A B C$ 中角A ， B ， C所对的边分别为a，b ， c ，满足 $2 a s i n A c o s B + b s i n 2 A = 2 \sqrt{3} a c o s C ，$

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A B C$ 的平分线与 $∠ B A C$ 的平分线交于点I ，求 $Δ A B I$ 周长的最大值．

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19. 为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图。

(1)、求a的值；

(2)、为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，
，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在内的学生人数为X ，求X的分布列和数学期望；

(3)、以样本的频率估计概率，从该市区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生．这20名学生中，周平均阅读时间在内的学生最可能有多少名？

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20. 如图，已知多面体ABCDEF的底面ABCD为矩形，四边形BDEF为平行四边形，平面 $F B C ⊥$ 平面ABCD ， $F B = F C = B C = 1$ ， $A B = 2$ ， G是CF的中点．

(1)、证明： $B G / /$ 平面AEF；

(2)、求直线AE与平面BDER所成角的余弦值．

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21. 已知在平面直角坐标系中，点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ， $Δ P A B$ 的周长为定值 $4 \sqrt{2} + 4$ .

(1)、设动点P的轨迹为曲线C ，求曲线C的方程；

(2)、过点A作直线l交C于M、N两点，连接 $B M 、 B N$ 分别与y轴交于D、E两点，若
$S_{Δ B D E}^{} = S_{Δ B M N}^{}$ ，求直线l的方程．

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22. 设函数 $f (x) = a 1 n x - (x - 1) e_{}^{x}$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、若 $a = e$ ，求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若 $f (x)$ 存在两个零点 $x_{1}^{} ， x_{2}^{}$
①求a的取值范围；
②设 $x_{0}^{}$ 为 $f (x)$ 的极值点，试探究是否存在实数 $a > e$ ，使得 $x_{1}^{} ， x_{0}^{} ， x_{2}^{}$ 成等差数列，若存在，
求出a的值，若不存在，请说明理由.

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