河北省石家庄市名校教育集团2023-2024学年高一上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-12-01 类型：期中考试

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {x | \frac{2}{x - 2} \leq 1}$ ，则 $A ∩ (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${3}$ B、 ${2 ， 3}$ C、 ${- 1 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[0 ， 3]$ ，则函数 $f (x^{2} - 1)$ 的定义域为（）

A、 $[- 2 ， - 1]$ B、 $[- 1 ， 8]$ C、 $[- 2 ， - 1] ∪ [1 ， 2]$ D、 $[- 2 ， 1]$

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3. “ $a > 5$ ”是“函数 $f (x) = (a - 2) x^{2} - 2 x$ 在 $(2 ， + \infty)$ 上单调递增”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知函数 $f (x) = a x^{5} + b x^{3} + 1$ （ $a$ ， $b \in R$ ）.若 $f (2) = 5$ ，则 $f (- 2) =$ （）

A、4 B、3 C、2 D、 $- 3$

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5. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - b x + c$ ，且函数 $f (x - 2)$ 是偶函数，则（）

A、 $4 a - b = 0$ B、 $4 a + b = 0$ C、 $a - b = 0$ D、 $a + b = 0$

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x + 4 ， x \leq 1 \\ \frac{a}{x} ， x > 1 \end{array}$ 是 $R$ 上的减函数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \geq 1$ B、 $a > 0$ C、 $1 \leq a \leq \frac{5}{3}$ D、 $2 \leq a < 3$

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7. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $[1 - 2 m ， m + 1]$ 上的偶函数， $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in [0 ， m + 1]$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时， $[f (x_{1}) - f (x_{2})] (x_{1} - x_{2}) < 0$ ，则不等式 $f (1 - x) \leq f (x)$ 的解集是（）

A、 $[- 3 ， \frac{1}{2}]$ B、 $[- 2 ， 3]$ C、 $[- 2 ， \frac{1}{2}]$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{2}]$

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且函数 $f (x)$ 在定义域内单调递增，若 $f (x^{2} + x - 3) + f (m - m x) > 0$ 对所有的 $x \in (2 ， 3)$ 均成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{9}{2}]$ B、 $(- \infty ， 3]$ C、 $(- \infty ， 4]$ D、 $(- \infty ， 3)$

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二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9. 已知 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0$ ，则下列不等关系中正确的是（）

A、 $b < a$ B、 $a^{2} + b^{2} > 2 (a - b - 1)$ C、 $a b^{2} < b^{3}$ D、 $\frac{b}{a} < 1$

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10. 下列结论不正确的是（）

A、若函数 $y = f (x + 1) - 2$ 为奇函数，则 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(1 ， - 2)$ 中心对称 B、若关于 $x$ 的不等式 $k x^{2} - 6 k x + k + 8 \geq 0$ 恒成立，则 $k$ 的取值范围为 $0 < k \leq 1$ C、 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则“ $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ”是“ $△ A B C$ 是直角三角形”的充要条件 D、幂函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $(9 ， 3)$ ，若 $x_{2} > x_{1} > 0$ ，则 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) > \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$

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11. 已知关于 $x$ 的不等式 $(a + 3 m) x^{2} - (2 b - 3 m) x - 1 < 0$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的解集为 $(- 1 ， \frac{1}{2})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a + 2 b = 1$ B、 $a b$ 的最大值为 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为8 D、 $a^{2} + 4 b^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 定义域为 $R$ ，且 $f (x) = - f (2 - x)$ ， $g (x) = (1 - x) f (x)$ ，函数 $g (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上递增，则下列命题为真命题的是（）

A、 $f (- x - 1) = - f (x + 1)$ B、函数 $g (x)$ 在 $(- \infty ， 1]$ 上递减 C、若 $a < 2 - b < 1$ ，则 $g (1) < g (b) < g (a)$ D、若 $g (a) > g (a + 1)$ ，则 $a < \frac{1}{2}$

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三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 全称量词命题“ $\forall x > 1 ， x^{2} > | x |$ ”的否定是.

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14. 当 $x \geq 3$ 时，函数 $y = 2 x + \frac{4}{x - 1} - 1$ 的最小值为.

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15. 若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + m x - 2 < 0$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上有解，则实数 $m$ 的取值范围为.

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16. 若 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$ 上的奇函数，且 $f (3) = 9$ .若对任意的两个不相等的正数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，则 $\frac{f (x)}{x} - 3 > 0$ 的解集为.

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四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17. 已知关于 $x$ 的不等式 $- x^{2} + x + 6 > 0$ 的解集为 $A$ ，关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + (2 - a) x - 2 a \leq 0$ 的解集为 $B$ .

(1)、求解集 $B$ ；

(2)、若 $x \in B$ 是 $x \in A$ 的必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) - f (x) = 2 x$ ，且 $f (0) = 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [- 1 ， \frac{1}{2}]$ 时，函数 $y = f (x)$ 的图象恒在函数 $y = 2 x + m$ 的图象下方，试确定实数 $m$ 的取值范围.

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19. 函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，已知当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ ；

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式并在给定的坐标系中画出函数图象（不用列表），根据图象写出函数 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、若方程 $f (x) - m = 0$ 有3个相异的实数根，求实数 $m$ 的取值集合；

(3)、求不等式 $f (x) > 2$ 的解集.

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20. 已知幂函数 $y = (k^{2} + k - 1) \cdot x^{m^{2} - 2 m - 3}$ （ $m \in N^{*}$ ）的图象关于 $y$ 轴对称，且在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数.

(1)、求 $m$ 和 $k$ 的值；

(2)、求满足 ${(a + 1)}^{- m} < {(3 - 2 a)}^{- m}$ 的 $a$ 的取值范围.

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21. 某手机生产企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产 $x$ （千部）手机，需另投入成本 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = {\begin{cases} 10 x^{2} + 100 x ， 0 < x < 40 \\ 601 x + \frac{10000}{x} - 7450 ， x \geq 40 \end{cases}$ .由市场调研知，每部手机售价0.6万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.

(1)、求出2023年的利润 $W (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （千部）的函数解析式（利润＝销售额－成本）；

(2)、 2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

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22. 设 $a$ ， $b \in R$ ，若函数 $f (x)$ 定义域内的任意一个 $x$ 都满足 $f (x) + f (2 a - x) = 2 b$ ，则函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(a ， b)$ 对称；反之，若函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(a ， b)$ 对称，则函数 $f (x)$ 定义域内的任意一个 $x$ 都满足 $f (x) + f (2 a - x) = 2 b$ .已知函数 $g (x) = \frac{7 x - 1}{x + 1}$ .

(1)、证明：函数 $g (x)$ 的图象关于点 $(- 1 ， 7)$ 对称；

(2)、已知函数 $h (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 2)$ 对称，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $h (x) = x^{2} - m x + m + 1$ .若对任意的 $x_{1} \in [0 ， 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [0 ， 1]$ ，使得 $h (x_{1}) \leq g (x_{2})$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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