天津市滨海新区塘沽第一名校2023-2024学年高一上学期数学11月期中试卷

试卷更新日期：2023-12-01 类型：期中考试

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一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的)

1. 已知集合 $M = {1 ， 2 ， 3} 、 N = {3 ， 4} ，$ 则 $M \cup N =$ （）

A、 ${3}$ B、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$ C、 ${1 ， 2 ， 3}$ D、 ${3 ， 4}$

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2. 下列函数中，在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ B、 $y = x^{- 1}$ C、 $y = x + \frac{1}{x}$ D、 $y = x^{3}$

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3. “ $x > 2$ ”是 $\frac{2}{x} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要分件

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4. 设a，b，c为实数，且a>b>0，则下列不等式正确的是（）

A、 $a c^{2} > b c^{2}$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $\frac{b}{a} > \frac{a}{b}$ D、 $a^{2} < a b$

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5. 命题“ $\forall x > 1 ， x^{2} + 1 \geq 0$ ”的否定为（）

A、 $\exists x \leq 1 ， x^{2} + 1 \geq 0$ B、 $\exists x > 1 ， x^{2} + 1 < 0$ C、 $\forall x > 1 ， x^{2} + 1 < 0$ D、 $\exists x \leq 1 ， x^{2} + 1 < 0$

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6. 已知 $a = 3^{1.2} ， b = 1 . 2^{0} ， c = {(\frac{1}{3})}^{- 0.9}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 1 ， x \geq 0 \\ 2^{x} ， x < 0 \end{array}$ ，则 $f (f (0))$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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8. 已知函数 $f (x)$ 为奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} + \frac{1}{x}$ ，则 $f (- 1) =$ （）

A、-2 B、0 C、1 D、2

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9. 已知函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} + m - 3}$ 是幂函数，且 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $f (x)$ 单调递减，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、1 C、2或 $- 1$ D、2

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (3 a - 1) x + 4 a ， x < 1 \\ x^{2} - a x + 6 ， x \geq 1 \end{array}$ 满足对任意 $x_{1} ， x_{2}$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[2 ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{3} ， 2]$ C、 $(\frac{1}{3} ， 1]$ D、 $[1 ， 2]$

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11. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，且在区间 $(- \infty ， 0)$ 上单调递增.若实数m满足 $f (3^{| m + 1 |}) > f (- \sqrt{3})$ ，则m的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - \frac{3}{2}) ∪ (- \frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{2}) ∪ (\frac{3}{2} ， + \infty)$ C、 $(- \frac{3}{2} ， - \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2} ， \frac{3}{2})$

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12. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集是 $(- 2 ， 3)$ ，则下列说法中正确的个数为（）
①关于 $x$ 的不等式 $c x^{2} + b x + a < 0$ 的解集是 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{3})$
② $\frac{12}{3 b + 4} + b$ 的最小值是 $\frac{8}{3}$
③若 $m^{2} - m > \frac{b + 4}{\sqrt{b + 3}}$ 有解，则实数m的取值范围是 $m < - 1$ 或 $m > 2$
④当 $c = 2$ 时， $f (x) = 3 a x^{2} + 6 b x ， x \in [n_{1} ， n_{2}]$ 的值域是 $[- 3 ， 1]$ ，则 $n_{2} - n_{1}$ 的取值范围是 $[2 ， 4]$

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题(每小题5分，共40分)

13. 函数 $f (x) = \frac{3 x}{\sqrt{1 - x}} + (3 x + 1)^{0}$ 的定义域为．

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14. 若“ $x^{2} - 5 x + 6 > 0$ ”是“ $x < a$ ”的必要不充分条件，则a的最大值为．

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15. 若函数 $y = a^{x - 2} + 3$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象恒过定点 $Q$ ，且点 $Q$ 在幂函数 $f (x) = x^{m}$ 的图象上，则 $f (4) =$ .

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16. 已知 $a$ 、 $b$ 都是正数，且 $(a + 1) (b + 2) = 16$ ，则 $a + b$ 的最小值为．

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17. 某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为 $y = {\begin{array}{l} 4 x ， 1 \leq x \leq 10 \\ 2 x + 10 ， 10 < x < 100 \\ 1.5 x ， x \geq 100 \end{array}$ ， $x \in N^{*}$ 其中 $x$ 代表拟录用人数， $y$ 代表面试人数，若面试人数为160，则该公司拟录用人数为．

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18. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x ， - 1 \leq x < t ， \\ 1 - | x - 1 | ， t \leq x \leq a . \end{array}$

(1)、若 $t = 1$ ，且 $f (x)$ 值域为 $[- 1 ， 3)$ ，则实数a的取值范围为．

(2)、若存在实数a ，使 $f (x)$ 值域为 $[- 1 ， 1]$ ，则实数t的取值范围为．

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三、解答题(每题15分，共60分，规范书写解题过程)

19. 已知集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 5} ，$ $B = {x | m + 1 \leq x \leq 2 m - 1}$ .

(1)、当 $m = 3$ 时，求 $① A \cup B ； ② A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、若集合B为非空集合且 $A \cup B = A$ ，求实数m的取值范围；

(3)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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20. 设 $f (x) = a x ² + (1 - a) x + 1 ，$

(1)、当 $a = 6$ 时，求解不等式 $f (x) < 0 ；$

(2)、若不等式 $f (x) > x$ 对一切实数 $x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围：

(3)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 2 (a < 0)$ .

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1} (x \geq 0) .$

(1)、用定义证明函数 $f (x)$ 在定义域 $[0 ， + ∞)$ 上为增函数；

(2)、若 $x \in [1 ， m]$ 时，函数 $f (x)$ 的最大值与最小值的差为 $\frac{1}{2}$ ，求实数 $m$ 的值；

(3)、求解不等式 $f (x - 1) \geq f (2 x - 4) .$

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} + a}{2^{x} + b} .$

(1)、当 $a = 4 ， b = - 2$ 时，解关于x的方程 $f (x) = 2^{x}$

(2)、若函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，求函数 $f (x)$ 的解析式；

(3)、在(2)的前提下，函数 $g (x)$ 满足 $f (x) \cdot [g (x) + 2] = 2^{x} - 2^{- x} ，$ 若对任意 $x ∈ R$ 且 $x \neq 0 ，$ 不等式 $g (2 x) \geq m g (x) - 18$ 恒成立，求实数 $m$ 的最大值.

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