北京市通州区2023-2024学年高一上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-12-01 类型：期中考试

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合 $A = {3 ， 4 ， 5 ， 7} ， B = {4 ， 5 ， 6}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7}$ B、 ${4 ， 5}$ C、 ${x ∣ 4 \leq x \leq 5}$ D、 ${x ∣ 3 \leq x \leq 7}$

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2. 命题： $\exists x > 0 ， x^{2} - x + 1 < 0$ 的否定是（）

A、 $\exists x \leq 0 ， x^{2} - x + 1 \geq 0$ B、 $\forall x \leq 0 ， x^{2} - x + 1 \geq 0$ C、 $\exists x > 0 ， x^{2} - x + 1 \geq 0$ D、 $\forall x > 0 ， x^{2} - x + 1 \geq 0$

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3. 下列函数中，既是奇函数又在区间 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = x^{\frac{1}{2}}$ B、 $y = 2^{- x}$ C、 $y = x + \frac{1}{x}$ D、 $y = x^{3}$

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4. 已知函数 $y = f (x)$ 的对应关系如下表所示，函数 $y = g (x)$ 的图象如图所示，则 $f (g (3))$ 的值为（）
$x$
0
3
6
$f (x)$
3
0
6

A、9 B、6 C、3 D、0

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5. 有限集合 $M$ 中元素的个数记作 $c a r d (M)$ ，若 $A ， B$ 都为有限集合，则“ $A ∩ B = A$ ”是“ $c a r d (A) \leq c a r d (B)$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 设函数 $y = x^{2} + 2 a x$ 在区间 $(2 ， + ∞)$ 上是增函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 ${a ∣ a \geq 2}$ B、 ${a ∣ a \leq 2}$ C、 ${a ∣ a \geq - 2}$ D、 ${a ∣ a \leq - 2}$

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7. 下列命题中正确的是（）

A、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $| a | > | b |$ B、若 $a > b ， c > d$ ，则 $a - c > b - d$ C、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若 $a > b > 0 ， c < d < 0$ ，则 $\frac{a}{d} < \frac{b}{c}$

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8. 向体积相同且高为 $H$ 的花瓶中，注水注满为止.如果注水量 $V$ 与水深 $h$ 的函数关系式如图所示，那么花瓶的形状是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 我们知道函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图像关于点 $H (a ， b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，则函数 $f (x) = x + \frac{1}{x + 1}$ 的对称中心是（）

A、 $(- 1 ， - 1)$ B、 $(1 ， 1)$ C、 $(0 ， 0)$ D、 $(- 1 ， 1)$

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10. 公园内常设有如图所示的护栏，柱与柱之间是一条均匀悬链.数学中把这种两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为 $f (x) = a e^{x} + b e^{- x}$ (其中 $a ， b$ 为非零常数， $e$ 为无理数， $e = 2.718 ⋯)$ ，则以下结论正确的是（）

A、若 $a = b$ ，则 $y = f (x)$ 为奇函数 B、若 $a b = 1$ ，则函数 $y = f (x)$ 的最小值为2 C、若 $a b > 0$ ，则方程 $f (x) = 0$ 没有实数根 D、若 $a b < 0$ ，则函数 $y = f (x)$ 为单调递增函数

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二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 函数 $f (x) = \sqrt{x - 2}$ 的定义域是.

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12. 不等式 $\frac{x - 1}{x} < 0$ 的解集为

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13. 能说明“ $\exists x \in R ， a x^{2} - a x - 1 \geq 0$ ”为假命题的一个实数 $a$ 的值为.

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14. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - 3 ， x \leq a \\ \frac{a}{x} ， x > a \end{array}$ ，若当 $a = 5$ 时，存在实数 $m$ ，使得 $f (m) = 0$ ，则 $2^{2 m + 1}$ 的值为.若 $f (x)$ 存在最大值，则实数 $a$ 的最小值为.

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15. 狄利克雷函数 $D (x)$ 定义为：当自变量取有理数时，函数值为1当自变量取无理数时，函数值为0.以下关于狄利克雷函数 $D (x)$ 的性质：
① $D (x)$ 的值域为 ${0 ， 1}$ ；
②若 $x ， y \in R$ ，则有 $D (x + y) \geq D (x) + D (y)$ 成立；
③函数 $D (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称；
④不存在 $A (x_{1} ， f (x_{1})) ， B (x_{2} ， f ({\dot{x}}_{2})) ， C (x_{3} ， f (x_{3}))$ ，使得 $△ A B C$ 为等腰直角三角形.
其中表述正确的是.

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三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x ∣ 3 x - 1 < 8} ， B = {x ∣ 2 < x < 5}$ .

(1)、求 $A \cap B$ 和 $(∁_{U} A) ∪ B$ ；

(2)、设集合 $C = {x ∣ a - 1 < x < a + 1}$ ，若 $C ∩ B = \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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17. 已知指数函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(- 2 ， 9)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式

(2)、试比较 $f (- 0.3) ， f (0.3) ， 1$ 这三个数的大小，并说明理由；

(3)、若 $f (- m^{2} + m + 1) < 1$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{2 | x | + 2}{x^{2} - 1}$ .

(1)、证明： $f (x)$ 为偶函数；

(2)、用定义证明： $f (x)$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上单调递减.

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19. 刚刚结束的2023年杭州亚运会给人们留下了深刻印象，也带火了很多杭州特色产品.某小组通过对一款杭州特产龙井茶的某官网销售情况的调查发现：该商品在过去30天内，销售单价 $P (x)$ (单位：百元)与时间 $x$ (单位：天)的函数关系近似满足 $P (x) = 1 + \frac{k}{x}$ ( $k$ 为常数)，日销售量 $Q (x)$ (单位：件)与时间 $x$ 的部分数据如下表所示：
x 5 10 15 20 25 30
Q(x) 180 310 390 420 400 330
已知第5天的日销售收入为216百元.

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、给出以下三种函数模型(1) $Q (x) = a x + b$ ；(2) $Q (x) = a x^{2} + b x$ ；(3) $Q (x) = a \cdot b^{x}$ .
请根据上表中的数据，选择你认为最合适的一种函数来描述 $Q (x)$ 与 $x$ 的变化关系，并求出函数 $Q (x)$ 的解析式；

(3)、记该商品在这30天内的日销售收入为 $H (x)$ (单位：百元)，求 $H (x)$ 的最大值.

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20. 设函数 $f (x) = x^{2} + 2 m x + m$ ，函数 $g (x) = 2 x + 2 . \forall x \in R$ ，用 $M (x)$ 表示 $f (x) ， g (x)$ 中的较大者，记为 $M (x) = m a x {f (x) ， g (x)}$ ，再从条件（1）、条件（2）这两个条件中选择一个作为已知.
条件（1）： $f (- 3) = f (1)$
条件（2）： $\forall x \in R ， f (x) \geq f (- 1)$ 恒成立.

(1)、求不等式 $f (x) > g (x)$ 的解集；

(2)、当 $x \in [1 ， 4]$ 时，关于 $x$ 的不等式 $M (x) > m (g (x) - 2)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

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21. 已知正整数集合 $S = {a_{1} ， a_{2} ， ⋯ ， a_{n}} (n \geq 2 ， n \in N) ， 0 < a_{1} < a_{2} < ⋯ < a_{n}$ ，对任意 $a_{i} ， a_{j} \in S$ ，定义 $d (a_{i} ， a_{j}) = | \frac{1}{a_{i}} - \frac{1}{a_{j}} |$ .若存在正整数 $k$ ，使得对任意 $a_{i} ， a_{j} \in S (a_{i} \neq a_{j})$ ，都有 $d (a_{i} ， a_{j}) \geq \frac{1}{k^{2}}$ ，则称集合 $S$ 具有性质 $F_{k}$ .记 $d (S)$ 是集合中的 ${d (a_{i} ， a_{j}) | a_{i} ， a_{j} \in S}$ 最大值.

(1)、判断集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ 和集合 $B = {4 ， 6}$ 是否具有性质 $F_{3}$ ，直接写出结论；

(2)、若集合 $S$ 具有性质 $F_{4}$ ，求证： $d (S) \geq \frac{n - 1}{16}$ ；

(3)、若集合 $S$ 具有性质 $F_{k}$ ，求 $n$ 的最大值.

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$x$	0	3	6
$f (x)$	3	0	6

x	5	10	15	20	25	30
Q(x)	180	310	390	420	400	330