北京市顺义区2023-2024学年高二上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-12-01 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，四个选项中只有一个符合题目）

1. 若直线 $x + y - 3 = 0$ 与 $2 x + a y - 1 = 0$ 垂直，则 $a =$ （）

A、-2 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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2. 椭圆的两个焦点是 $(- 4 ， 0)$ 和 $(4 ， 0)$ ，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

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3. 若 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y - m = 0$ 表示圆的方程，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(5 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 5)$ C、 $(- \infty ， - 5)$ D、 $(- 5 ， + \infty)$

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4. 若双曲线C： $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{7}}{4} x$ B、 $y = \pm \frac{5}{4} x$ C、 $y = \pm \frac{4}{3} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{7}}{3} x$

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5. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上横坐标为3的点M到焦点F的距离为6，则 $p =$ （）

A、2 B、3 C、6 D、8

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6. 已知平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (2 ， 1 ， 1)$ ，若平面 $α$ 外的直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{a} = (- 1 ， 0 ， 3)$ ，则可以推断（）

A、 $l ∥ α$ B、 $l ⊥ α$ C、 $l$ 与 $α$ 斜交 D、 $l \subset α$

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7. 已知点 $M$ 的坐标为 $(a ， b)$ ，圆 $M$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，则“ $| A B | = | C D |$ ”是“ $a = b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知三棱锥 $O - A B C$ ，点 $D$ 是 $O A$ 的中点，点 $G$ 是 $△ A B C$ 的重心（三角形三条中线的交点叫三角形的重心）设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，则向量 $\vec{D G}$ 用基底 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 可表示为（）

A、 $- \frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$

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9. 设点 $P$ 为函数 $y = \sqrt{3} | x |$ 图象上的动点， $Q$ 是圆 $C$ ： ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 3$ （其中 $a b = 0$ ）上的动点，若 $| P Q |$ 的最小值为 $\sqrt{3}$ ，则以所有满足条件的点 $C$ 为顶点的多边形的面积为（）

A、 $24 \sqrt{3}$ B、 $16 \sqrt{3}$ C、 $8 \sqrt{3}$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$

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10. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 是线段 $B C_{1}$ 的中点，点 $F$ 是线段 $B D$ 上的动点，下列结论中错误的是（）

A、对于任意的点 $F$ ，均有 $E F ⊥ A_{1} C$ B、存在点 $F$ ，使得 $E F ∥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ C、存在点 $F$ ，使得 $E F$ 与 $C C_{1}$ 所成角是60° D、不存在点 $F$ ，使得 $E F$ 与平面 $A B C_{1} D_{1}$ 的所成角是30°

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二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）

11. 直线 $y = 1$ 的倾斜角为.

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12. 平面直角坐标系中，已知直线 $l$ 过点（0，4），与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线 $l$ 的方程为.

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13. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 8 x$ 的焦点为F ，准线为 $l$ ，则F到 $l$ 的距离是；若斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线经过焦点F在第一象限与抛物线交于点M ，过M作 $M N$ 垂直于 $l$ 于点N ，则 $△ M N F$ 的面积为.

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14. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 与双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 有共同的焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，设两曲线的其中一个交点为P ，且 $c o s ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{1}{8}$ ，则双曲线的离心率为.

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15. 关于曲线 $W_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = m^{2}$ ， $W_{2}$ ： $x^{4} + y^{2} = m^{2} (m > 0)$
①曲线 $W_{2}$ 关于x轴、y轴和原点对称；
②当 $m = 1$ 时，两曲线共有四个交点；
③当 $0 < m < 1$ 时，曲线 $W_{1}$ 围成的区域面积大于曲线 $W_{2}$ 所围成的区域面积；
④当 $m = \sqrt{2}$ 时，曲线 $W_{2}$ 对围成的平面区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是3.
上述结论中所有正确命题的序号是.

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三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤.

16. 平面直角坐标系中，已知圆的圆心是 $C (0 ， 1)$ ，且经过点 $M (\sqrt{3} ， 0)$ ，直线 $l$ 的方程为 $x + y + m = 0$ .

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $l$ 与圆 $C$ 相切，求m的值；

(3)、若直线 $l$ 被圆截得的弦长 $| M N | = 2 \sqrt{3}$ ，求 $m$ 的值

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17. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是 $x$ 轴，且经过点 $P (1 ， 2)$ .

(1)、求抛物线的标准方程、焦点坐标；

(2)、经过焦点F且斜率是1的直线 $l$ ，与抛物线交于A、B两点，求 $| A B |$ 以及 $△ O A B$ 的面积.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P D = 2$ ，点 $E$ 是 $P C$ 的中点.

(1)、求证： $B C ∥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求直线 $A C$ 与 $E B$ 所成角的余弦值；

(3)、求直线 $E B$ 与平面 $P A D$ 所成角的正弦值.

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19. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = \sqrt{5}$ ， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ， M为棱 $A B$ 的中点，点N是 $A_{1} C$ 上靠近C的三等分点

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $M C C_{1}$ ；

(2)、求二面角 $N - B_{1} M - A$ 的余弦值；

(3)、棱 $A C$ 上是否存在点 $P$ ，使得点 $P$ 在平面 $B_{1} M N$ 内?若存在，求 $\frac{A P}{A C}$ 的值；若不存在，说明理由.

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为 $2 \sqrt{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过右焦点且与 $x$ 轴不垂直的直线 $l$ 与椭圆相交于A ， B两点，点M的坐标为 $(2 ， 1)$ ，记直线 $M A$ ， $M B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、当 $| A B | = \frac{5 \sqrt{2}}{4}$ 时，求直线 $l$ 的方程；

(3)、求证： $k_{1} + k_{2}$ 为定值.

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21. 对于空间向量 $\vec{m} = (a ， b ， c)$ ，定义 $| | \vec{m} | | = m a x {| a | ， | b | ， | c |}$ ，其中 $m a x {x ， y ， z}$ 表示x ， y ， z这三个数的最大值.

(1)、已知 $\vec{a} = (3 ， - 4 ， 2)$ ， $\vec{b} = (x ， - x ， 2 x)$ .
①直接写出 $| | \vec{a} | |$ 和 $| | \vec{b} | |$ （用含 $x$ 的式子表示）；
②当 $0 \leq x \leq 4$ ，写出 $| | \vec{a} - \vec{b} | |$ 的最小值及此时 $x$ 的值；

(2)、设 $\vec{a} = (x_{1} ， y_{1} ， z_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2} ， y_{2} ， z_{2})$ ，求证： $| | \vec{a} + \vec{b} | | \leq | | \vec{a} | | + | | \vec{b} | |$ ；

(3)、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中， $A (2 ， 0 ， 0)$ ， $B (0 ， 2 ， 0)$ ， $C (0 ， 0 ， 2)$ ，点Q是 $△ A B C$ 内部的动点，直接写出 $| | \vec{O Q} | |$ 的最小值（无需解答过程）.

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