重庆市北碚区西南大学附高2024届高三上学期数学11月月考试卷

试卷更新日期：2023-12-01 类型：月考试卷

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一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分。

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 6 < 0} ， B = {x | 2 x + 3 > 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- \frac{3}{2} ， 3)$ B、 $(\frac{3}{2} ， 3)$ C、 $(- \frac{3}{2} ， + \infty)$ D、 $(- 2 ， + \infty)$

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2. 若复数 $(a + i) (1 - a i) = - 2$ ， $a \in R$ ，则 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $2$

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3. 已知 $α$ 为锐角， $s i n (α + \frac{π}{3}) = \frac{3}{5}$ ，则 $s i n α =$ （）

A、 $\frac{3 - 4 \sqrt{3}}{10}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3} - 3}{10}$ C、 $\frac{3 + 4 \sqrt{3}}{10}$ D、 $- \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{10}$

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4. 已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{n} = a_{n - 1} + 2 a_{n - 2} + 1$ （ $n ≥ 3$ ， $n \in N^{*}$ ）， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，则 $S_{60} =$ （）

A、 $2^{30} - 31$ B、 $4^{30} - 31$ C、 $2^{30} - 30$ D、 $4^{30} - 30$

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5. 2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游.除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（）

A、1800 B、1080 C、720 D、360

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6. 对于两个函数 $h (t) = e^{t - 1} (t > \frac{1}{2})$ 与 $g (t) = l n (2 t - 1) + 2 (t > \frac{1}{2})$ ，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为 $t_{1}$ ， $t_{2}$ ，则 $t_{2} - t_{1}$ 的最小值为（）

A、 $- 1$ B、 $- l n 2$ C、 $1 - l n 3$ D、 $1 - 2 l n 2$

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7. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上， $\vec{A F} \cdot \vec{F B} = 0$ ， $3 \vec{B F} = \vec{F C}$ ，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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8. 已知曲线 $y = - x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 9$ 与曲线 $y = \frac{1 - 2 x}{x + 1}$ 交于点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， A_{2} (x_{2} ， y_{2}) ， \cdot \cdot \cdot ， A_{n} (x_{n} ， y_{n})$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} + y_{i}) =$ （）

A、 $- 16$ B、 $- 12$ C、 $- 9$ D、 $- 6$

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二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分。

9. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{3})$ ，把 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图象，则（）

A、 $g (x)$ 是奇函数 B、 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{4}$ 对称 C、 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增 D、不等式 $g (x) \leq 0$ 的解集为 $[k π + \frac{π}{2} ， k π + π] ， k \in Z$

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10. 袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球.记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（）

A、可能取到数字4 B、中位数可能是2 C、极差可能是4 D、众数可能是2

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11. 如图，圆锥 $S O$ 的底面圆 $O$ 的直径 $A C = 4$ ，母线长为 $2 \sqrt{2}$ ，点 $B$ 是圆 $O$ 上异于 $A$ ， $C$ 的动点，则下列结论正确的是（）

A、 $S C$ 与底面所成角为45° B、圆锥 $S O$ 的表面积为 $4 \sqrt{2} π$ C、 $∠ S A B$ 的取值范围是 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ D、若点 $B$ 为弧 $A C$ 的中点，则二面角 $S - B C - O$ 的平面角大小为45°

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12. 曲线C是平面内与两个定点 $F_{1} (0 ， 1)$ ， $F_{2} (0 ， - 1)$ 的距离的积等于 $\frac{3}{2}$ 的点P的轨迹，则下列结论正确的是（）

A、曲线C关于坐标轴对称 B、点P到原点距离的最大值为 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $△ F_{1} P F_{2}$ 周长的最大值为 $2 + \sqrt{6}$ D、点P到y轴距离的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。

13. 若 $s i n (α - \frac{5 π}{12}) = \frac{1}{3}$ ，则 $c o s (2 α + \frac{π}{6})$ 的值为

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14. 二项式 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 展开式的常数项为.

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15. 已知数列 ${a_{n}} ， a_{1} = 1$ ，对任意正整数 $k$ ， $a_{2 k - 1}$ ， $a_{2 k}$ ， $a_{2 k + 1}$ 成等差数列，公差为 $2 k$ ，则 $a_{100} =$ .

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16. 设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x - 1 | ， x \geq 0 \\ - x^{2} + 2 a x ， x < 0 \end{array}$ ，若函数 $y = f (f (x))$ 恰有3个零点，则实数 $a$ 的取值范围为.

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四、解答题：共70分。

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a = b (\sqrt{3} s i n C + c o s C)$ ．

(1)、求B；

(2)、已知 $B C = 2 \sqrt{3}$ ， D为边 $A B$ 上的一点，若 $B D = 1$ ， $∠ A C D = \frac{π}{2}$ ，求 $A C$ 的长．

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18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{n + 1} + a_{n + 2} = 12 a_{n} (n \in N^{*})$ ， $S_{5} = 121$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} + l n a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19. 图1是由正方形 $A B C D$ 和正三角形 $A D E$ 组成的一个平面图形，将 $△ A D E$ 沿 $A D$ 折起，使点 $E$ 到达点 $P$ 的位置， $Q$ 为 $P C$ 的中点，如图2．

(1)、求证： $A P$ $/ /$ 平面 $Q B D$ ；

(2)、若平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求平面 $P A D$ 与平面 $Q B D$ 夹角的余弦值．

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20. 某校20名学生的数学成绩 $x_{i} (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 20)$ 和知识竞赛成绩 $y_{i} (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 20)$ 如下表：
计算可得数学成绩的平均值是 $\bar{x} = 75$ ，知识竞赛成绩的平均值是 $\bar{y} = 90$ ，并且 $\sum_{i = 1}^{20} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 6464$ ， $\sum_{i = 1}^{20} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 149450$ ， $\sum_{i = 1}^{20} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 21650$ .

(1)、求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）；

(2)、设 $N \in N^{*}$ ，变量 $x$ 和变量 $y$ 的一组样本数据为 ${(x_{i} ， y_{i}) | i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， N}$ ，其中 $x_{i} (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， N)$ 两两不相同， $y_{i} (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， N)$ 两两不相同.记 $x_{i}$ 在 ${x_{n} | n = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， N}$ 中的排名是第 $R_{i}$ 位， $y_{i}$ 在 ${y_{n} | n = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， N}$ 中的排名是第 $S_{i}$ 位， $i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， N$ .定义变量 $x$ 和变量 $y$ 的“斯皮尔曼相关系数”（记为 $ρ$ ）为变量 $x$ 的排名和变量 $y$ 的排名的样本相关系数.
（i）记 $d_{i} = R_{i} - S_{i}$ ， $i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， N$ .证明： $ρ = 1 - \frac{6}{N (N^{2} - 1)} \sum_{i = 1}^{N} d_{i}^{2}$ ；
（ii）用（i）的公式求得这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”约为0.91，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势.
注：参考公式与参考数据.
$r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ； $\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ ； $\sqrt{6464 \times 149450} \approx 31000$ .

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21. 动点P与定点 $F (\sqrt{3} ， 0)$ 的距离和它到直线 $l ： x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 的距离的比是常数 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，记点P的轨迹为E.

(1)、求E的方程；

(2)、已知 $M (0 ， 1)$ ，过点 $N (- 2 ， 1)$ 的直线与曲线E交于不同的两点A ， B ，点A在第二象限，点B在x轴的下方，直线 $M A$ ， $M B$ 分别与x轴交于C ， D两点，求四边形 $A C B D$ 面积的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 l n x - a x + 1 (a \in R)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的零点个数；

(2)、已知函数 $g (x) = e^{a x} - e x^{2} (a \in R)$ ，当 $0 < a < \frac{2 \sqrt{e}}{e}$ 时，关于 $x$ 的方程 $f (x) = g (x)$ 有两个实根 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，求证： $x_{1} - \sqrt{e} < \frac{1}{x_{2}} - \frac{1}{\sqrt{e}}$ .（注： $e = 2.71828 ⋯$ 是自然对数的底数）

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