广东省广州市执信名校2023-2024学年高一上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-12-01 类型：期中考试

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一、单项选择题，本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 3 x - 6 > 0} ， B = {x | x^{2} - 4 x + 3 \leq 0}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 ${x | 1 \leq x < 2}$ B、 ${x | 2 < x \leq 4}$ C、 ${x | 1 \leq x \leq 2}$ D、 ${x | x \geq 1}$

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2. 已知命题 $p ： \exists x \in Q$ ，使得 $x \notin N$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x \notin Q$ ，都有 $x \notin N$ B、 $\exists x \notin Q$ ，使得 $x \in N$ C、 $\forall x \in Q$ ，都有 $x \in N$ D、 $\exists x \in Q$ ，使得 $x \in N$

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3. 在同一平面直角坐标系中，函数 $y = a^{x}$ ( $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ )与 $y = x + a - 1$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x - 3} ， x > 1 \\ x^{2} + 1 ， x \leq 1 \end{array}$ ，则 $f (f (3)) =$ （）

A、2 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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5. 下列根式与分数指数幂的互化正确的是（）

A、 $- \sqrt{x} = {(- x)}^{\frac{1}{2}}$ B、 $\sqrt[6]{y^{2}} = y^{\frac{1}{3}} (y < 0)$ C、 $x^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} (x > 0)$ D、 ${[\sqrt[3]{(- x)^{2}}]}^{\frac{3}{4}} = x^{\frac{1}{2}}$

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6. 流行病学基本参数：基本再生数 $R_{0}$ 指一个感染者传染的平均人数，世代间隔T指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可用模型： $I (t) = N_{0} e^{r t}$ （其中 $N_{0}$ 是开始确诊病例数）描述累计感染病例 $I (t)$ 随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与 $R_{0}$ ，T满足 $R_{0} = 1 + r T$ ，有学者估计出 $R_{0} = 3.4, T = 6$ ．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，当 $I (t) = 2 N_{0}$ 时，t的值为（ $\ln 2 \approx 0.69$ ）（）

A、1.2 B、1.7 C、2.0 D、2.5

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7. $f (x)$ 是定义在R上的函数， $f (x + \frac{1}{2}) + \frac{1}{2}$ 为奇函数，则 $f (2023) + f (- 2022) =$ （）

A、－1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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8. 记函数 $f (x) = | x^{2} - a x |$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上的最大值为 $g (a)$ ，则 $g (a)$ 的最小值为（）

A、 $3 - 2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $\frac{1}{4}$ D、1

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二、多项选择题，本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0 ， + ∞)$ 上为增函数的是（）

A、 $y = 2 - x$ B、 $y = x^{2} + 2$ C、 $y = - \frac{1}{x}$ D、 $y = | x | + 1$

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10. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $a b \leq 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2$ B、若 $a + b = 4$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{9}{b}$ 的最小值为4 C、若 $a^{2} + b^{2} = 4$ ，则 $a b$ 的最大值为2 D、若 $2 a + b = 1$ ，则 $a b$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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11. 定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对于定义域上的任意 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，恒有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则称 $f (x)$ 为“理想函数” $.$ 则下列函数中是“理想函数”的是（）

A、 $f (x) = 1$ B、 $f (x) = x^{2} + 2$ C、 $f (x) = x^{3} - x$ D、 $f (x) = x^{4}$

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12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数.例如： $[- 3.2] = - 4$ ， $[2.3] = 2$ .已知函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{1 + 2^{x}} - \frac{1}{2}$ ，则关于函数 $g (x) = [f (x)]$ 的叙述中正确的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 在 $R$ 上是减函数 C、 $g (x)$ 是偶函数 D、 $g (x)$ 的值域是 ${- 1 ， 0}$

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三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分

13. 函数f（x）= $\sqrt{x + 1}$ + $\frac{1}{2 - x}$ 的定义域为．

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14. 如果函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 2$ 在区间 $[3 ， + \infty)$ 上是增函数，则 $a$ 的取值范围为.

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15. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x - 2$ ，若 $f (2023) = 10$ ，则 $f (- 2023) =$ ．

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16. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，且在 $[0 ， + ∞)$ 上单调递增，对于任意实数t ， $f (- t) \leq f (2 a t^{2} + a)$ 恒成立，求a的取值范围．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤

17. 计算：

(1)、求值： $0.12 5^{- \frac{1}{3}} - {(\frac{9}{8})}^{0} + {[{(- 2)}^{2}]}^{\frac{3}{2}} + {(\sqrt{2} \times \sqrt[3]{3})}^{6}$

(2)、已知： $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $\frac{a^{2} + a^{- 2} + 3}{a + a^{- 1} - 2}$ 的值

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18.

(1)、设集合 $A = {a^{2} ， a + 1 ， - 3} ， B = {a - 3 ， 2 a - 1 ， a^{2} + 1} ， A ∩ B = {- 3}$ ，求实数a的值；

(2)、设集合 $A = {x | 0 < x < 4} ， B = {x | m \leq x \leq 3 m - 2}$ ．如果 $A \cup B = A$ ，求实数m的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 4$ ．

(1)、设 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ ，根据函数单调性的定义证明 $g (x)$ 在区间 $(2 ， + \infty)$ 上单调递增；

(2)、当 $a > 0$ 时，解关于x的不等式 $f (x) > (1 - a) x^{2} + 2 (a + 1) x$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - m}{2^{x} + 1}$ 为奇函数．

(1)、求实数m的值及函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若 $f (\frac{1}{x - 1}) - f (2) > 0$ ，求x的取值范围．

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21. 某中学为了迎接建校100周年校庆，决定在学校校史馆利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用.甲乙两支队伍参与竞标，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计12600元，设荣举室的左右两面墙的长度均为 $x$ 米 $(1 \leq x \leq 6)$ ，乙工程队给出的整体报价为 $\frac{1800 a (x + 2)}{x}$ 元 $(a > 0)$ ，综合考虑各种条件，学校决定选择报价较低的队伍施工，如果报价相同，则选择乙队伍.

(1)、若 $a = 10$ ，问学校该怎样选择；

(2)、在竞争压力下，甲工程队主动降价5400元，若乙工程队想要确保自己被选中，求实数 $a$ 的最大值.

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22. 对于函数 $f (x)$ ，若在定义域内存在实数x ，满足 $f (- x) = - f (x)$ ，则称 $f (x)$ 为“局部奇函数”．

(1)、已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + 2 x - 4 a$ ， $a \in R$ ，试判断 $f (x)$ 是否为“局部奇函数”，并说明理由；

(2)、若 $f (x) = 4^{x} - m \cdot 2^{x + 1} + m^{2} - 1$ 为定义在R上的“局部奇函数”，求函数 $f (x)$ 在 $x \in [- 1 ， 1]$ 的最小值．

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